Exact Constant of Approximation of Periodic Functions by Cesaro Means

O. Rovenska

doi:10.30970/ms.64.2.161-169

O. Rovenska Donbas State Engineering Academy, Kramatorsk

DOI: https://doi.org/10.30970/ms.64.2.161-169

Анотація

У роботі розглядається задача наближення неперервних \(2\pi\)-періодичних функцій лінійними середніми рядів Фур'є. Основну увагу приділено методам наближення, що породжуються операторами Чезаро. Такі методи широко застосовуються у гармонічному аналізі та теорії наближення завдяки своїм згладжувальним властивостям і здатності ефективно апроксимувати функції з різним ступенем гладкості.

Питанням дослідження збіжності та апроксимаційних властивостей середніх Чезаро присвячено значну кількість робіт. Фундаментальні результати в цій області належать Феєру, Рісу, Зигмунду, Лейндлеру, Моріцу, Тотіку та іншим авторам, які досліджували середні Чезаро \((C, \alpha)\) у різних функціональних просторах.

Однією з важливих задач є обчислення точних констант апроксімації певних класів неперервних періодичних функцій за допомогою операторів Чезаро. Такі константи дозволяють встановити точні нерівності для відхилення у рівномірній метриці між середніми Чезаро та самою функцією, що є ключовим для оцінювання якості наближення.

У роботі представлено нові результати щодо операторів типу Чезаро. Зокрема, розглядаються суматорні аналоги операторів Чезаро \((C, \alpha)\), які належать до широко застосовуваного класу методів у аналізі Фурʼє. Встановлено точну нерівність для точної верхньої межі рівномірного відхилення суматорних операторів Чезаро \((C, \alpha)\) другого порядку на класі неперервних періодичних функцій.

Отримані результати становлять внесок у тригонометричну теорію наближення та сприяють глибшому розумінню процесу підсумовування Чезаро у періодичному випадку.

Посилання

T. Akhobadze,On the generalized Ces`aro means of trigonometric Fourier series, Bulletin of TICMI,18(2014), No1, 75–84.

H. Berens, Y. Xu,l−1summability of multiple Fourier integrals and positivity, Math. Proc. Camb. Phil.Soc.,122(1997), No1, 149–172.

V.P. Bugaets, V.T. Martynyuk,Exact constants of approximation of continuous functions by Jacksonintegrals, Ukr. Math. J.,26(1974), No4, 357–364. https://doi.org/10.1007/BF01085608

V.P. Bugaets, V.T. Martynyuk,Exact constant for approximation of continuous functions by summationoperators of Jackson type, Ukr. Math. J.,29(1977), No6, 586—590. https://doi.org/10.1007/BF01085966

P.L. Butzer, R.J. Nessel, Fourier analysis and approximation, V.I,II, New York–London, Academic Press,1971.

U. De ̆ger, M. K ̈u ̧cukaslan,A generalization of deferred Cesaro means and some of their applications, J.Inequal. Appl.,2015, 14. https://doi.org/10.1186/s13660-014-0532-0

G. G`at, U. Goginava,Ces`aro means with varying parameters of Walsh-Fourier series, Period. Math.Hung.,87(2023), 57–74.

U. Goginava,On the approximation properties of Cesaro means of negative order of Walsh-Fourier series,J. Approx. Theory.,115(2002), No1, 9–20.

A. Guven, V. Kokilashvili,On the mean summability by Cesaro method of Fourier trigonometric seriesin two-weighted setting, J. Inequal. Appl.,2006, 41837. https://doi.org/10.1155/JIA/2006/41837

L. Fej ́er,Untersuchungen iiber Fouriersche Reihen, Math. Ann.,58(1904), 501–569.

V.T. Gavrilyuk,Approximation of continuous periodic functions of one or two variables by Rogozinskipolynomials of interpolation type, Ukr. Math. J.,25(1973), No5, 530–537.https://doi.org/10.1007/BF01091946

Y. Katznelson, An introduction to harmonic analysis, Cambridge, Univ. Press, 2004.

L. Leindler,On the degree of approximation of continuous functions, Acta Math. Hungar.,104(2004),106–113.

L. Leindler,Necessary and sufficient conditions for uniform convergence of boundedness of general classof sine series, Aust. J. Math. Anal. Appl.,4(2007), 10.

D. Leladze,On some properties of multiple conjugate trigonometric series, Georgian Math. J.,1, (1994),No3, 287–302.

V.T. Martynyuk,Best constants for approximations of periodic functions by Fej ́er operators, Ukr. Math.J.,42(1990), No1, 66–74. https://doi.org/10.1007/BF01066366

F. Moricz, X. Shi,Approximation to continuous functions by Cesaro means of double fourier series andconjugate series, J. Approx. Theory,49(1987), 346–317.

O.G. Rovenska,An exact constant on the estimation of the approximation of classes of periodic functionsof two variables by Ces`aro means, Mat. Stud.,57(2022), No1, 3–9. https://doi.org/10.30970/ms.57.1.3-9

O. Rovenska,Exact constants in estimates of approximation of Lipschitz classes of periodic functions byCes`aro means, Math. Inequal. Appl.,26(2023), No4, 851–859.

M. Riesz,Sur la sommation des series de Fourier, Acta Sci. Math. (Szeged),1(1923), 104–113.

F. Schurer, F. Steutel,On the degree of approximation by the operators of de la Vallee Poussin, Monatsh.Math.,87(1979), 53–64.

F. Schurer, F. Steutel,On the degree of approximation of functions inC12πwith operators of the Jacksontype, J. of Approx. Theory,27(1979), 153–178.

P. Simon, F. Wesz,Weak inequalities for Ces`aro and Riesz summability of Walsh-Fourier series,J. Approx. Theory,151(2008), No1, 1–19.

M.V. Singh, M.L. Mittal,Approximation of functions in Besov space by deferred Ces`aro mean, J. Inequal.Appl.,2016(2016), 118.

A.F. Timan, Theory of approximation of functions of a real variable, New York, Pergamon Press, 1963.

V. Totik,On the strong approximation by(C,α)-means of Fourier series.I, Anal. Math.,6(1980),57–85.

V. Totik,On the strong approximation by(C,α)-means of Fourier series.II, Anal. Math.,6(1980),165–184.

D. Tsirekidze,Estimate of the approximation of periodic functions by negative Ces`aro means, Acta Math.Hung.,127(2010), 207–219.

Wang Xing-hua,The exact constant of approximation of continuous functions by the Jackson singularintegral, Acta Math. Sinica,14(1964), No2, 231–237.

F. Weisz,Convergence of summability means of higher dimensional Fourier series and Lebesgue points,Acta Math. Hungar.,175(2025), 270–285.

A. Zygmund,Sur la sommabilite des s ́eries de Fourier des fonctions v ́erifiant la condition de Lipschitz,Bull. de l’Acad. Polonaise, 1925, 1–9.

A. Zygmund, Trigonometric series, I., Cambridge, University Press, 1959.33. A. Zygmund, Trigonometric series, II., Cambridge, University Press, 1959.