The boundary value problem semi-linear elliptic equation in weighted $C$-spaces

H.P.Lopushanska

The sufficient conditions at which the solution of $2m$ order semi-linear elliptic differential equation in region takes the given values from $[C^\infty(S)]'$ on the boundary $S$ are obtained. The connection between the singularities' orders of the generalized functions given on the boundary of the region and the character of the growth of the solution near the boundary under some structure of nonlinear part in equation is founded.

1. Le Gall J.-F. The Brounian snake and the solutions of $\Delta u=u^2$ in a domain// Probab. Theory Related Fields. -- 1995. -- V.102. -- P.~393--432.

2. Dynkin~E.B., Kuznetsov~S.E. Trece of the boundary for solutions of nonlinear equations// Trans. Amer. Math. Soc. -- 1998. -- V.350. -- P.~4499--4519.

3. Marcus~M., Veron~L. Removable singularities and boundary traces// J. Math. Pures Appl. -- 2001. -- V.80, №1. -- P.~879--900.

4. Лопушанська Г.П. Крайові значення із $(C^\infty)'$ розв'язків напівлінійних еліптичних рівнянь// Нелин. гран. задачи. -- 2006. -- Т.16. -- С. 173--185.

5. Лопушанська Г.П. Узагальнені крайові значення розв'язків півлінійного еліптичного диференціальниго рівняння порядку $2m$// Мат. студ. -- 2010. -- Т.33, №1. -- C. 39--48.

6. Похожаев~С. О задаче Дирихле для уравнения $\Delta u=u^2$// ДАН СССР. -- 1960. -- Т.134, №~4. -- P.~769--772.

7. Kondrat'ev~V.A., Nikishkin~V.A. Asymptotic, near the boundary, of a solution of a singular boudary-value problem for a semilinear ellyptic equation// Diff. uravn. -- 1990. -- V.26, №~3. -- P.~465--468.

8. Serrin~J. Cauchy--Liouville and universal boundedness theorems for quasilinear elliptic equations and inequalities.// Acta Math. -- 2002. -- V.189. -- P. 79--142.

9. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. -- М.:~Мир, 1971. -- 372 с.

10. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй спецкурс. -- М.:Наука, 1965. -- 327~с.

11. Лопушанська Г.П. Задача Діріхле для квазілінійного еліптичного рівняння у просторах розподілів// Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. -- 1990. -- Вип. 34. -- С. 26--31.

12. Лопушанська Г.П., Чмир О.Ю. Узагальнені крайові значення розв'язків півлінійних еліптичних та параболічних рівнянь// Нелин. гран. задачи. -- 2007. -- Т.17. -- С. 50--73.

13. Березанский Ю.М., Ройтберг Я.А. Теорема о гомеоморфизмах и функция Грина для общих эллиптических краевых задач// Укр. мат. ж. -- 1967. -- Т.19, №~5. -- С.~3--32.

14. Красовский Ю.П. Свойства функций Грина и обобщенное решение эллиптических граничных задач// Изв. АН СССР. Сер. мат. -- 1969. -- Т.33, №1. -- С. 109--137. %

15. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. -- М.: Наука, 1965. -- 520 с.

16. Соболев~С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. -- М.: Наука, 1988. -- 336 с.

	The boundary value problem semi-linear elliptic equation in weighted $C$-spaces (in Ukrainian)
Author	H.P.Lopushanska Ivan Franko National Univerity of Lviv
Abstract	The sufficient conditions at which the solution of $2m$ order semi-linear elliptic differential equation in region takes the given values from $[C^\infty(S)]'$ on the boundary $S$ are obtained. The connection between the singularities' orders of the generalized functions given on the boundary of the region and the character of the growth of the solution near the boundary under some structure of nonlinear part in equation is founded.
Keywords	semi-linear elliptic differential equation, boundary condition, order of singularity
DOI	doi:10.30970/ms.34.1.65-74
Reference	1. Le Gall J.-F. The Brounian snake and the solutions of $\Delta u=u^2$ in a domain// Probab. Theory Related Fields. -- 1995. -- V.102. -- P.~393--432. 2. Dynkin~E.B., Kuznetsov~S.E. Trece of the boundary for solutions of nonlinear equations// Trans. Amer. Math. Soc. -- 1998. -- V.350. -- P.~4499--4519. 3. Marcus~M., Veron~L. Removable singularities and boundary traces// J. Math. Pures Appl. -- 2001. -- V.80, №1. -- P.~879--900. 4. Лопушанська Г.П. Крайові значення із $(C^\infty)'$ розв'язків напівлінійних еліптичних рівнянь// Нелин. гран. задачи. -- 2006. -- Т.16. -- С. 173--185. 5. Лопушанська Г.П. Узагальнені крайові значення розв'язків півлінійного еліптичного диференціальниго рівняння порядку $2m$// Мат. студ. -- 2010. -- Т.33, №1. -- C. 39--48. 6. Похожаев~С. О задаче Дирихле для уравнения $\Delta u=u^2$// ДАН СССР. -- 1960. -- Т.134, №~4. -- P.~769--772. 7. Kondrat'ev~V.A., Nikishkin~V.A. Asymptotic, near the boundary, of a solution of a singular boudary-value problem for a semilinear ellyptic equation// Diff. uravn. -- 1990. -- V.26, №~3. -- P.~465--468. 8. Serrin~J. Cauchy--Liouville and universal boundedness theorems for quasilinear elliptic equations and inequalities.// Acta Math. -- 2002. -- V.189. -- P. 79--142. 9. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. -- М.:~Мир, 1971. -- 372 с. 10. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй спецкурс. -- М.:Наука, 1965. -- 327~с. 11. Лопушанська Г.П. Задача Діріхле для квазілінійного еліптичного рівняння у просторах розподілів// Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. -- 1990. -- Вип. 34. -- С. 26--31. 12. Лопушанська Г.П., Чмир О.Ю. Узагальнені крайові значення розв'язків півлінійних еліптичних та параболічних рівнянь// Нелин. гран. задачи. -- 2007. -- Т.17. -- С. 50--73. 13. Березанский Ю.М., Ройтберг Я.А. Теорема о гомеоморфизмах и функция Грина для общих эллиптических краевых задач// Укр. мат. ж. -- 1967. -- Т.19, №~5. -- С.~3--32. 14. Красовский Ю.П. Свойства функций Грина и обобщенное решение эллиптических граничных задач// Изв. АН СССР. Сер. мат. -- 1969. -- Т.33, №1. -- С. 109--137. % 15. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. -- М.: Наука, 1965. -- 520 с. 16. Соболев~С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. -- М.: Наука, 1988. -- 336 с.
Pages	65-74
Volume	34
Issue	1
Year	2010
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html

The boundary value problem semi-linear elliptic equation in weighted $C$-spaces (in Ukrainian)