Exact estimate for the measure of the level set of the modulus of a function with high--order constant--sign derivative

V.S.Іlkiv; T.V.Maherovska

For functions $f\in\mathbf{C}^n[a,b]$ such that $|f^{(n)}(x)|\ge\delta$ on $[a,b]$, we establish an exact estimate of the Lebesgue measure ${\rm meas\,} G_n(\varepsilon,\delta,f)$ of the set $G_n(\varepsilon,\delta,f)$ of points $x\in[a,b]$, for which $|f(x)|\le\varepsilon$, namely, we prove a sharp inequality $ {\rm meas\,} G_n(\varepsilon,\delta,f)\le \min\bigg(b-a,\,4\sqrt[n]{\frac{n!}2}\cdot \sqrt[n]{\frac{\varepsilon}\delta}\bigg).$ On the base of Chebyshev polynomials $T_n$, we construct extremal polynomials, for which the inequality becomes an equality.

1. Пташник~Б.И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными. -- К.: Наук.думка, 1984. -- 264 с.

2. Пташник~Б.Й., Ільків~В.С., Кміть~І.Я., Поліщук~В.М. Нелокальні крайові задачі для рівнянь із частинними похідними. -- К.: Наук. думка, 2002. -- 416~с.

3. Пяртли~А.С. Диофантовы приближения на подмногообразиях евклидова пространства// Функц. анализ и его прилож. -- 1969. -- T.3, №4. -- С.~59--62.

4. Берник~В.И., Пташник~Б.И., Салыга~Б.О. Аналог многоточечной задачи для гиперболического уравнения с постояннями коэффициентами// Диф. уравнения. -- 1977. -- T.13, №4. -- С.~637--645.

5. Илькив В.~С. Обобщение одной леммы Пяртли. -- В сб.: Материалы 10-й конф. мол. ученых Ин-та прикл. пробл. мех. и матем. АН УССР, ч. 2 (Львов, 15--17 мая 1984 г.) Львов, 1984. -- С. 96--99. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 10.11.1984 г., №7197-84 Деп).

6. Ільків~В.~С. Аналоги леми Пяртлі із абсолютними константами// Мат. методи і фіз.-мех. поля.~-- 1999.~-- T.42, №4.~-- С.~68--74.

7. Ільків В.С., Магеровська Т.В. Про константу в лемі Пяртлі// Вісн. нац. ун-ту. "Львів. політехніка". Фіз.-мат. науки.~-- 2007.~-- №601.~-- С.~12--17.

8. Симотюк М.М. Про оцінки мір множин, на яких модуль гладкої функції обмежений зверху// Мат. методи і фіз.-мех. поля. -- 1999. -- T.42, №4. -- С.~90--95.

9. Beresnevich V.V. A Groshev type theorem for convergence on manifolds// Acta Math. Hungar. -- 2002. -- T.94, №1--2. -- C. 99--130.

10. Beresnevich V.V., Bernik V.I., Kleinbock D.Y., Margulis G.A. Metric Diophantine approximation: the Khintchine--Groshev theorem for nondegenerate manifolds // Moskow Math. Journ. -- 2002. -- T.2, №2. -- C. 203--225.

11. Dani~S.G., Margulis~G.A. Limit distributions of orbits of unipotent flows and values of quadratic forms// Adv. in Soviet Math. -- 1993. -- V.16. -- P. 91--137.

12. Kleinbock~D., Margulis~G.A. Flows on homogeneous spaces and diophantine approximation on manifold// Ann. Math. -- 1998. -- V.148, -- P. 339--360.

13. Бейкер~Дж.,~мл., Грейвс-Моррис~П. Аппроксимации Паде. -- М.: Мир, 1986. -- 502~с.

14. Кондратюк~А.А. Метод рядов Фурье для целых и мероморфных функций вполне регулярного роста. III// Матем. сборник.~-- 1983.~-- V.120(162).~-- С.~331--343.

15. Скасків~О.~Б. Випадкові лакунарні степеневі ряди і нерівність Вімана// Мат. Cтуд.~-- 2008.~-- T.30, №1.~-- С.~101--106.

16. Benvenuti~P., Mesiar~R., Vivona~D. Monotone set functions-based integrals, Handbook of measure theory. -- Elsevier, Amsterdam, 2002. -- P. 1329--1379.

17. Cartan H. Sur les systèmes de fonctions holomorphes à variétés linéaires et leurs applications// Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. -- 1928. -- V. 45, №3. -- P. 255--346.

18. Левин В.~Я. Распределение корней целых функций. -- ГИТТЛ, 1956. -- 632~с.

19. Levin~B.~Ya. Lectures on entire functions. Amer. Math. Society -- 1996. -- V.150. -- 248~p.

20. Гельфонд~А.О. Исчисление конечных разностей. -- М.: Физматгиз, 1959. -- 400~с.

21. Шилов~Г.~Е. Математический анализ. Второй специальный курс. -- М.: Наука, 1965. -- 328~с.

22. Ільків В.~С., Магеровська Т.~В.~ Про нерівність між нормами похідних функції та мірою області// Int. Conf. ``Functional methods in approximation theory and operator theory III'', dedicated to the memory of V. K. Dzyadyk, August 22-26, Volyn, Ukraine. -- 2009. -- С. 48--49.

	Exact estimate for the measure of the level set of the modulus of a function with high--order constant--sign derivative
Author	V.S.Іlkiv, T.V.Maherovska ilkivv@i.ua Lviv Polytechnic National University, Lviv National University of Internal Affairs
Abstract	For functions $f\in\mathbf{C}^n[a,b]$ such that $\|f^{(n)}(x)\|\ge\delta$ on $[a,b]$, we establish an exact estimate of the Lebesgue measure ${\rm meas\,} G_n(\varepsilon,\delta,f)$ of the set $G_n(\varepsilon,\delta,f)$ of points $x\in[a,b]$, for which $\|f(x)\|\le\varepsilon$, namely, we prove a sharp inequality $ {\rm meas\,} G_n(\varepsilon,\delta,f)\le \min\bigg(b-a,\,4\sqrt[n]{\frac{n!}2}\cdot \sqrt[n]{\frac{\varepsilon}\delta}\bigg).$ On the base of Chebyshev polynomials $T_n$, we construct extremal polynomials, for which the inequality becomes an equality.
Keywords	exact estimate, level set, constant-sign derivative
DOI	doi:10.30970/ms.34.1.57-64
Reference	1. Пташник~Б.И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными. -- К.: Наук.думка, 1984. -- 264 с. 2. Пташник~Б.Й., Ільків~В.С., Кміть~І.Я., Поліщук~В.М. Нелокальні крайові задачі для рівнянь із частинними похідними. -- К.: Наук. думка, 2002. -- 416~с. 3. Пяртли~А.С. Диофантовы приближения на подмногообразиях евклидова пространства// Функц. анализ и его прилож. -- 1969. -- T.3, №4. -- С.~59--62. 4. Берник~В.И., Пташник~Б.И., Салыга~Б.О. Аналог многоточечной задачи для гиперболического уравнения с постояннями коэффициентами// Диф. уравнения. -- 1977. -- T.13, №4. -- С.~637--645. 5. Илькив В.~С. Обобщение одной леммы Пяртли. -- В сб.: Материалы 10-й конф. мол. ученых Ин-та прикл. пробл. мех. и матем. АН УССР, ч. 2 (Львов, 15--17 мая 1984 г.) Львов, 1984. -- С. 96--99. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 10.11.1984 г., №7197-84 Деп). 6. Ільків~В.~С. Аналоги леми Пяртлі із абсолютними константами// Мат. методи і фіз.-мех. поля.~-- 1999.~-- T.42, №4.~-- С.~68--74. 7. Ільків В.С., Магеровська Т.В. Про константу в лемі Пяртлі// Вісн. нац. ун-ту. "Львів. політехніка". Фіз.-мат. науки.~-- 2007.~-- №601.~-- С.~12--17. 8. Симотюк М.М. Про оцінки мір множин, на яких модуль гладкої функції обмежений зверху// Мат. методи і фіз.-мех. поля. -- 1999. -- T.42, №4. -- С.~90--95. 9. Beresnevich V.V. A Groshev type theorem for convergence on manifolds// Acta Math. Hungar. -- 2002. -- T.94, №1--2. -- C. 99--130. 10. Beresnevich V.V., Bernik V.I., Kleinbock D.Y., Margulis G.A. Metric Diophantine approximation: the Khintchine--Groshev theorem for nondegenerate manifolds // Moskow Math. Journ. -- 2002. -- T.2, №2. -- C. 203--225. 11. Dani~S.G., Margulis~G.A. Limit distributions of orbits of unipotent flows and values of quadratic forms// Adv. in Soviet Math. -- 1993. -- V.16. -- P. 91--137. 12. Kleinbock~D., Margulis~G.A. Flows on homogeneous spaces and diophantine approximation on manifold// Ann. Math. -- 1998. -- V.148, -- P. 339--360. 13. Бейкер~Дж.,~мл., Грейвс-Моррис~П. Аппроксимации Паде. -- М.: Мир, 1986. -- 502~с. 14. Кондратюк~А.А. Метод рядов Фурье для целых и мероморфных функций вполне регулярного роста. III// Матем. сборник.~-- 1983.~-- V.120(162).~-- С.~331--343. 15. Скасків~О.~Б. Випадкові лакунарні степеневі ряди і нерівність Вімана// Мат. Cтуд.~-- 2008.~-- T.30, №1.~-- С.~101--106. 16. Benvenuti~P., Mesiar~R., Vivona~D. Monotone set functions-based integrals, Handbook of measure theory. -- Elsevier, Amsterdam, 2002. -- P. 1329--1379. 17. Cartan H. Sur les systèmes de fonctions holomorphes à variétés linéaires et leurs applications// Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. -- 1928. -- V. 45, №3. -- P. 255--346. 18. Левин В.~Я. Распределение корней целых функций. -- ГИТТЛ, 1956. -- 632~с. 19. Levin~B.~Ya. Lectures on entire functions. Amer. Math. Society -- 1996. -- V.150. -- 248~p. 20. Гельфонд~А.О. Исчисление конечных разностей. -- М.: Физматгиз, 1959. -- 400~с. 21. Шилов~Г.~Е. Математический анализ. Второй специальный курс. -- М.: Наука, 1965. -- 328~с. 22. Ільків В.~С., Магеровська Т.~В.~ Про нерівність між нормами похідних функції та мірою області// Int. Conf. ``Functional methods in approximation theory and operator theory III'', dedicated to the memory of V. K. Dzyadyk, August 22-26, Volyn, Ukraine. -- 2009. -- С. 48--49.
Pages	57-64
Volume	34
Issue	1
Year	2010
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html