On stability to perturbations of branched continued fractions with complex elements (in Ukrainian)

D.I.Bodnar; V.R.Hladun

We consider the problems of the stability to perturbations of branched continued fractions (BCF) $ a_0 \left( {b_0 + \mathop {\textbf {D}}_{k = 1}^\infty \sum_{i_k = 1}^N {{\frac{{a_{i\left( k \right)} }}{{b_{i\left( k \right)} }}} }} \right)^{ - 1} $ with complex elements. We define the multidimensional sets of relative stability to perturbations of these fractions. We construct and investigate the sets in $\mathbb{C}^{N + 1} $ of relative stability to perturbations of BCF or some sequences of its approximants in the assumption that the relative errors of the elements are uniformly bounded. Preliminarily, we establish that these sets are sets of convergence either of the BCF or corresponding sequences of its approximants. We obtain estimates of the relative errors of the approximants of the considered BCF.

1. Blanch G. Numerical evaluation of continued fractions. -- SIAM Rev., 1964. -- P. 383--421.

2. Gautschi W. Computational aspects of three-term recurrence relations. -- SIAM Rev., 1967. -- P. 24--82.

3. Jones W.B., Thton W.J. Numerical stability in evaluating continued fractions // Math. Comp. -- 1974. -- V. 28. -- P. 795--810.

4. Macon N., Baskervill M. On the generation of errors in the digital evaluation of continued fractions . -- J. Assoc. Comp. Mach. -- 1956. -- V. 5. -- P. 211--221.

5. Боднар Д. И. Ветвящиеся цепные дроби. -- Киев: Наук. думка. -- 1986. -- 176 c.

6. Боднар Д. И. Оценка погрешности вычисления ветвящихся цепных дробей. -- Докл. АН УССР. Сер. А. -- 1975. -- № 12. -- С. 1059--1062.

7. Боднар Д. І., Воделанд Х., Кучмінська Х. Й., Сусь О.М. Про стійкість гіллястих ланцюгових дробів. -- Мат. методи та фіз.-мех. поля. -- 1994. -- Т. 37., № -- С. 3--7.

8. Боднарчук П. И., Иванел В. К., Дзюбка Б. Е., Пустомельников И. П., Слоневский Р. В. Вычислительная устойчивость цепных и ветвящихся цепных дробей. В кн.:Цепные дроби и их прим. -- К:ИМ АН УССР, 1976. -- С. 12--14.

9. Боднарчук П.І., Скоробогатько В.Я. Гіллясті ланцюгові дроби та їх застосування. -- К.: Наук. думка. -- 1974. -- 272 с.

10. Боднар Д., Гладун В. Достатні умови стійкості до збурень гіллястих ланцюгових дробів з додатними елементами. -- Мат. методи та фіз.-мех. поля. -- 2002. -- Т. 45, № 1. -- C. 16--21.

11. Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения. -- М.: Мир. -- 1985. -- 414 с.

12. Иванов В. В., Бесараб П.Н., Данильченко Л.С. и др. Оценки погрешностей округления для цепных и ветвящихся цепных дробей. В кн.: Цепные дроби и их применения. -- К.: ИМ АН УССР, 1976. -- С. 20--24.

13. Недашковский Н. А. О сходимости и вычислительной устойчивости ветвящихся цепных дробей некоторых типов. -- Мат. методы и физ.-мех. поля. -- 1984. -- Вып. 20. -- С. 27--31.

14. Одноволова (Антонова) Т. Н. Некоторые оценки погрешности вычисления интегральных цепных дробей. -- Докл. АН УССР. Сер А. -- 1984. -- № 7. -- С. 19--22.

15. Скоробогатько В.Я. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вы-чис-лительной математике. -- М.: Наука. 1983. -- 312 с.

16. Терских В.П. Метод цепных дробей в применении к исследованию колебаний механических систем: В 2 т. - Л.: Судпромгиз, 1955. -- Т. 1. -- 376 с.; Т. 2. -- 332 с.

	On stability to perturbations of branched continued fractions with complex elements (in Ukrainian)
Author	D.I.Bodnar, V.R.Hladun Ternopil State Economic University, Lviv Polytechnic National University
Abstract	We consider the problems of the stability to perturbations of branched continued fractions (BCF) $ a_0 \left( {b_0 + \mathop {\textbf {D}}_{k = 1}^\infty \sum_{i_k = 1}^N {{\frac{{a_{i\left( k \right)} }}{{b_{i\left( k \right)} }}} }} \right)^{ - 1} $ with complex elements. We define the multidimensional sets of relative stability to perturbations of these fractions. We construct and investigate the sets in $\mathbb{C}^{N + 1} $ of relative stability to perturbations of BCF or some sequences of its approximants in the assumption that the relative errors of the elements are uniformly bounded. Preliminarily, we establish that these sets are sets of convergence either of the BCF or corresponding sequences of its approximants. We obtain estimates of the relative errors of the approximants of the considered BCF.
Keywords	stability, branched continued fraction, complex element
DOI	doi:10.30970/ms.25.2.207-212
Reference	1. Blanch G. Numerical evaluation of continued fractions. -- SIAM Rev., 1964. -- P. 383--421. 2. Gautschi W. Computational aspects of three-term recurrence relations. -- SIAM Rev., 1967. -- P. 24--82. 3. Jones W.B., Thton W.J. Numerical stability in evaluating continued fractions // Math. Comp. -- 1974. -- V. 28. -- P. 795--810. 4. Macon N., Baskervill M. On the generation of errors in the digital evaluation of continued fractions . -- J. Assoc. Comp. Mach. -- 1956. -- V. 5. -- P. 211--221. 5. Боднар Д. И. Ветвящиеся цепные дроби. -- Киев: Наук. думка. -- 1986. -- 176 c. 6. Боднар Д. И. Оценка погрешности вычисления ветвящихся цепных дробей. -- Докл. АН УССР. Сер. А. -- 1975. -- № 12. -- С. 1059--1062. 7. Боднар Д. І., Воделанд Х., Кучмінська Х. Й., Сусь О.М. Про стійкість гіллястих ланцюгових дробів. -- Мат. методи та фіз.-мех. поля. -- 1994. -- Т. 37., № -- С. 3--7. 8. Боднарчук П. И., Иванел В. К., Дзюбка Б. Е., Пустомельников И. П., Слоневский Р. В. Вычислительная устойчивость цепных и ветвящихся цепных дробей. В кн.:Цепные дроби и их прим. -- К:ИМ АН УССР, 1976. -- С. 12--14. 9. Боднарчук П.І., Скоробогатько В.Я. Гіллясті ланцюгові дроби та їх застосування. -- К.: Наук. думка. -- 1974. -- 272 с. 10. Боднар Д., Гладун В. Достатні умови стійкості до збурень гіллястих ланцюгових дробів з додатними елементами. -- Мат. методи та фіз.-мех. поля. -- 2002. -- Т. 45, № 1. -- C. 16--21. 11. Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения. -- М.: Мир. -- 1985. -- 414 с. 12. Иванов В. В., Бесараб П.Н., Данильченко Л.С. и др. Оценки погрешностей округления для цепных и ветвящихся цепных дробей. В кн.: Цепные дроби и их применения. -- К.: ИМ АН УССР, 1976. -- С. 20--24. 13. Недашковский Н. А. О сходимости и вычислительной устойчивости ветвящихся цепных дробей некоторых типов. -- Мат. методы и физ.-мех. поля. -- 1984. -- Вып. 20. -- С. 27--31. 14. Одноволова (Антонова) Т. Н. Некоторые оценки погрешности вычисления интегральных цепных дробей. -- Докл. АН УССР. Сер А. -- 1984. -- № 7. -- С. 19--22. 15. Скоробогатько В.Я. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вы-чис-лительной математике. -- М.: Наука. 1983. -- 312 с. 16. Терских В.П. Метод цепных дробей в применении к исследованию колебаний механических систем: В 2 т. - Л.: Судпромгиз, 1955. -- Т. 1. -- 376 с.; Т. 2. -- 332 с.
Pages	207-212
Volume	25
Issue	2
Year	2006
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html