Variational ultraparabolic inequalities without initial data (in Ukrainian)

S.P.Lavrenyuk; N.P.Protsakh

Nonlinear ultraparabolic inequalities are considered in an unbounded domain with respect to the time variable. The definitions of the strong and weak solution of the problem without initial data for variational inequalities are given. The solvability of such problems without any assumptions at $t\to -\infty$ is obtained.

1. Генчев Т. Г. Об ультрапараболических уравнениях // Докл. АН СССР. -- 1963. -- Т.~151, № 2. -- C.~265--268.

2. Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов.~-- М.: Наука.~-- 1977. -- 568~с.

3. Ильин А. М., Хасьминский Р. З. Об уравнениях броуновского движения // Теория вероятн. и ее примен.-- 1964. -- Т. 9, № 3. -- C. 466--491.

4. Баруча--Рид А. Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. -- М.: Наука. -- 1969. -- 511 с.

5. Kolmogorov A.N. Zufällige Bewegungen (Zur Theorie der Brownschen Bewegung) // Ann. Math. -- 1934. -- V. 35. -- P. 116–117.

6. Marshak R. M. Theory of the slowing down of neutrons by elastic colision with atomic nuclei // Reviews of modern physics. -- 1947. -- V. 19, № 3 (July). -- P. 185--238.

7. Сонин И. М. Об одном классе вырождающихся диффузионных процессов // Теория вероятн. и ее примен. -- 1967. -- Т.~12, № 3.-- C. 540--547.

8. Eidelman S. D., Ivasyshen S. D., Malytska H. P. The modified Levi method of construction and study of the fundamental solutions of the Cauchy problem for degenerate parabolic equations of Kolmogorov type // Нелинейные граничные задачи. -- 1998. -- Вып. 8. -- С. 101--107.

9. Дронь В. С., Івасишен С. Д. Властивості фундаментальних розв'язків і теореми єдиності розв'язків задачі Коші для одного класу ультрапараболічних рівнянь // Укр. мат. журн. -- 1998. -- Т. 50, № 11. -- C. 1482--1496.

10. Ивасишен С. Д., Эйдельман С. Д. Об интегральном представлении решений вырожденных уравнений типа Колмогорова с ${\vec{2b}}$-параболической частью по основной группе переменных // Дифф. уравн.~-- 2000. -- Т. 36, № 5. -- С. 647--655.

11. Орлова С. А. О первой краевой задаче для прямо и обратно ультрапараболического уравнения // Сиб. мат. журн. -- 1990. -- Т. 31, 194 6. -- C. 211--215.

12. Терсенов С. А. О краевых задачах для одного класса ультрапараболических уравнений и их приложения // Мат. сб. -- 1987. -- Т.~133 (175), № 4 (8). -- C. 539--555.

13. Терсенов С. А. О предельных значениях решений ультрапараболических уравнений на многообразиях вырождения // Докл. АH СССР. -- 1988. -- Т. 299, № 5. -- C. 1070--1075.

14. Suvorov S. G. Nonlinear ultraparabolic equations in general domains // Нелинейные граничные задачи. -- 1997. -- Вып. 7. -- С. 180--188.

15. Процах Н. П. Мішана задача для нелінійного ультрапараболічного рівняння // Наук. вісник Чернівецького ун-ту: Зб. наук. пр.-- Вип. 134. Матем., 2002. -- C. 97--103.

16. Балабушенко Т. М., Івасишен С. Д. Крайові задачі Фур'є для рівняння Колмогорова дифузійного процесу Уленбека - Орнштейна з виродженням // Наук. вісн. Чернівецького ун-ту: Зб. наук. пр. -- Вип. 46. Матем., 1999. -- C. 5--12.

17. Лавренюк С. П., Процах Н. П. Задача Фур'є для ультрапараболічного рівняння // Нелинейные граничные задачи. -- 2002. -- Вып. 12. -- C. 128--139.

18. Лавренюк С. П. Параболические вариационные неравенства без начальних условий // Дифф. уравн. -- 1996. -- Т. 32, № 10. -- C. 1--5.

19. Лавренюк С. П. Системи параболічних варіаційних нерівностей без початкових умов // Укр. мат. журн. -- 1997. -- Т. 49, № 4. -- C. 540--547.

20. Бугрій О. М., Лавренюк С. П. Параболічна варіаційна нерівність, що узагальнює рівняння політропної фільтрації // Укр. мат. журн. -- 2001. -- Т. 53, № 7. -- C. 867--878.

21. Lavrenyuk S. P. Parabolic variational inequalities without initial data // Нелинейные граничные задачи. -- 1998. -- Вып. 8. -- С. 173--178.

22. Bokalo M. M. Well-posedness of problems without initial conditions for nonlinear parabolic variational inequalities without initial data // Нелинейные граничные задачи. -- 1998.~-- Вып 8.~-- С. 58--63.

23. Лионс Ж.-Л. Hекоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир. -- 1972.~-- 587 с.

24. Лавренюк С. П., Процах Н. П. Варіаційні ультрапараболічні нерівності // Укр. мат. журн.-- 2004.-- Т. 56, № 12.-- C. 1616--1628.

25. Бокало Н. М. О задаче без начальных условий для некоторых классов нелинейных параболических уравнений // Труды семинара им. И.~Г.~ Петровского. -- М.: Из-во Моск. ун-та. -- 1989. -- Вып. 14.~-- С. 3--44.

26. Lax P.D., Phillips R.S. Local boundary conditions for dissipative symmetric linear differential operators // Comm. Pure and Appl. Math. -- 1960.~--~Vol. 13.-- P. 427--455.

27. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: -- Мир, 1978.-- 336 с.

	Variational ultraparabolic inequalities without initial data (in Ukrainian)
Author	S.P.Lavrenyuk, N.P.Protsakh Ivan Franko National University of Lviv; Cracow University of Technology, Poland; Ya. S. Pidstryhach Institute of Applied Problems, Mechanics and Mathematics National Academy of Sciences of Ukraine
Abstract	Nonlinear ultraparabolic inequalities are considered in an unbounded domain with respect to the time variable. The definitions of the strong and weak solution of the problem without initial data for variational inequalities are given. The solvability of such problems without any assumptions at $t\to -\infty$ is obtained.
Keywords	nonlinear parabolic inequality, unbounded domain, time variable
DOI	doi:10.30970/ms.23.1.57-67
Reference	1. Генчев Т. Г. Об ультрапараболических уравнениях // Докл. АН СССР. -- 1963. -- Т.~151, № 2. -- C.~265--268. 2. Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов.~-- М.: Наука.~-- 1977. -- 568~с. 3. Ильин А. М., Хасьминский Р. З. Об уравнениях броуновского движения // Теория вероятн. и ее примен.-- 1964. -- Т. 9, № 3. -- C. 466--491. 4. Баруча--Рид А. Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. -- М.: Наука. -- 1969. -- 511 с. 5. Kolmogorov A.N. Zufällige Bewegungen (Zur Theorie der Brownschen Bewegung) // Ann. Math. -- 1934. -- V. 35. -- P. 116–117. 6. Marshak R. M. Theory of the slowing down of neutrons by elastic colision with atomic nuclei // Reviews of modern physics. -- 1947. -- V. 19, № 3 (July). -- P. 185--238. 7. Сонин И. М. Об одном классе вырождающихся диффузионных процессов // Теория вероятн. и ее примен. -- 1967. -- Т.~12, № 3.-- C. 540--547. 8. Eidelman S. D., Ivasyshen S. D., Malytska H. P. The modified Levi method of construction and study of the fundamental solutions of the Cauchy problem for degenerate parabolic equations of Kolmogorov type // Нелинейные граничные задачи. -- 1998. -- Вып. 8. -- С. 101--107. 9. Дронь В. С., Івасишен С. Д. Властивості фундаментальних розв'язків і теореми єдиності розв'язків задачі Коші для одного класу ультрапараболічних рівнянь // Укр. мат. журн. -- 1998. -- Т. 50, № 11. -- C. 1482--1496. 10. Ивасишен С. Д., Эйдельман С. Д. Об интегральном представлении решений вырожденных уравнений типа Колмогорова с ${\vec{2b}}$-параболической частью по основной группе переменных // Дифф. уравн.~-- 2000. -- Т. 36, № 5. -- С. 647--655. 11. Орлова С. А. О первой краевой задаче для прямо и обратно ультрапараболического уравнения // Сиб. мат. журн. -- 1990. -- Т. 31, 194 6. -- C. 211--215. 12. Терсенов С. А. О краевых задачах для одного класса ультрапараболических уравнений и их приложения // Мат. сб. -- 1987. -- Т.~133 (175), № 4 (8). -- C. 539--555. 13. Терсенов С. А. О предельных значениях решений ультрапараболических уравнений на многообразиях вырождения // Докл. АH СССР. -- 1988. -- Т. 299, № 5. -- C. 1070--1075. 14. Suvorov S. G. Nonlinear ultraparabolic equations in general domains // Нелинейные граничные задачи. -- 1997. -- Вып. 7. -- С. 180--188. 15. Процах Н. П. Мішана задача для нелінійного ультрапараболічного рівняння // Наук. вісник Чернівецького ун-ту: Зб. наук. пр.-- Вип. 134. Матем., 2002. -- C. 97--103. 16. Балабушенко Т. М., Івасишен С. Д. Крайові задачі Фур'є для рівняння Колмогорова дифузійного процесу Уленбека - Орнштейна з виродженням // Наук. вісн. Чернівецького ун-ту: Зб. наук. пр. -- Вип. 46. Матем., 1999. -- C. 5--12. 17. Лавренюк С. П., Процах Н. П. Задача Фур'є для ультрапараболічного рівняння // Нелинейные граничные задачи. -- 2002. -- Вып. 12. -- C. 128--139. 18. Лавренюк С. П. Параболические вариационные неравенства без начальних условий // Дифф. уравн. -- 1996. -- Т. 32, № 10. -- C. 1--5. 19. Лавренюк С. П. Системи параболічних варіаційних нерівностей без початкових умов // Укр. мат. журн. -- 1997. -- Т. 49, № 4. -- C. 540--547. 20. Бугрій О. М., Лавренюк С. П. Параболічна варіаційна нерівність, що узагальнює рівняння політропної фільтрації // Укр. мат. журн. -- 2001. -- Т. 53, № 7. -- C. 867--878. 21. Lavrenyuk S. P. Parabolic variational inequalities without initial data // Нелинейные граничные задачи. -- 1998. -- Вып. 8. -- С. 173--178. 22. Bokalo M. M. Well-posedness of problems without initial conditions for nonlinear parabolic variational inequalities without initial data // Нелинейные граничные задачи. -- 1998.~-- Вып 8.~-- С. 58--63. 23. Лионс Ж.-Л. Hекоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир. -- 1972.~-- 587 с. 24. Лавренюк С. П., Процах Н. П. Варіаційні ультрапараболічні нерівності // Укр. мат. журн.-- 2004.-- Т. 56, № 12.-- C. 1616--1628. 25. Бокало Н. М. О задаче без начальных условий для некоторых классов нелинейных параболических уравнений // Труды семинара им. И.~Г.~ Петровского. -- М.: Из-во Моск. ун-та. -- 1989. -- Вып. 14.~-- С. 3--44. 26. Lax P.D., Phillips R.S. Local boundary conditions for dissipative symmetric linear differential operators // Comm. Pure and Appl. Math. -- 1960.~--~Vol. 13.-- P. 427--455. 27. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: -- Мир, 1978.-- 336 с.
Pages	57-67
Volume	23
Issue	1
Year	2005
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html