On a singularly perturbated problem (in Ukrainian)

Tsymbal V. M.

At the domain $D=\{(x,t): 0 \le x \le l, 0 \le t \le T\}$ there is considered a problem $$L_{\epsilon} u = \epsilon^2 \left[\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right] - \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + a(x,t)u = f(x,t),$$ $$u(0,t)=0, \quad \epsilon^2 \frac{\partial^2 u(0,t)}{\partial x^2} = g(t), \quad u(l,t)=0, \quad \frac{\partial^2 u(l,t)}{\partial x^2}=0,$$ $$u(x,0)=0,$$ where $\epsilon>0$ is small parameter. Using the boundary layer method, we will construct the asymptotics of the solution to the problem. One of the boundary conditions contains a small parameter, which leads to the phenomenon of a boundary jump.

1. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром //Успехи мат.наук. - 1957. - Т.12, №5. - С.3-122.

2. Lions J.L. Perturbations Singulieres dans les Problemes aux Limites et en Controle Optimal, B: Springer-Verlag. 1973. - 645 р.

3. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. - М.: Мир, 1968. - 427 с.

4. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Мир, 1970. - 720 с.

5. Цымбал В.Н. Задачи для сингулярно возмущенных уравнений математической физики с малым параметром в граничных условиях //Тез.докл. Сов.-чехословацкого совещания. - Донецк, 1986. - С.139.

	On a singularly perturbated problem (in Ukrainian)
Author	Tsymbal V. M. Ivan Franko Lviv University
Abstract	At the domain $D=\{(x,t): 0 \le x \le l, 0 \le t \le T\}$ there is considered a problem $$L_{\epsilon} u = \epsilon^2 \left[\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right] - \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + a(x,t)u = f(x,t),$$ $$u(0,t)=0, \quad \epsilon^2 \frac{\partial^2 u(0,t)}{\partial x^2} = g(t), \quad u(l,t)=0, \quad \frac{\partial^2 u(l,t)}{\partial x^2}=0,$$ $$u(x,0)=0,$$ where $\epsilon>0$ is small parameter. Using the boundary layer method, we will construct the asymptotics of the solution to the problem. One of the boundary conditions contains a small parameter, which leads to the phenomenon of a boundary jump.
Keywords	small parameter, boundary layer method, asymptotic, boundary jump
DOI	doi:10.30970/ms.1.110-114
Reference	1. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром //Успехи мат.наук. - 1957. - Т.12, №5. - С.3-122. 2. Lions J.L. Perturbations Singulieres dans les Problemes aux Limites et en Controle Optimal, B: Springer-Verlag. 1973. - 645 р. 3. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. - М.: Мир, 1968. - 427 с. 4. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Мир, 1970. - 720 с. 5. Цымбал В.Н. Задачи для сингулярно возмущенных уравнений математической физики с малым параметром в граничных условиях //Тез.докл. Сов.-чехословацкого совещания. - Донецк, 1986. - С.139.
Pages	110-114
Volume	1
Year	1991
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html