Comparison of Lebesgue means and Nevanlinna characteristics of subharmonic functions (in Ukrainian)

Kondratyuk A.A., Tarasyuk S.I.

Let $u$ be a subharmonic in $\mathbb{R}^m$ function, $m \ge 2$, $u(0)=0$, $S$ be a unit sphere in $\mathbb{R}^m$, $|S|$ be its surface square. Denote $$m_q(r,u) = \left(\frac{1}{|S|} \int_S |u(rx)|^q dS(x)\right)^{\frac{1}{q}}, \quad 1 \le q < +\infty, \quad r>0,$$ $u^+=\max\{u,0\}$, $m_\infty(r,u) = B(r,u) = \max\{u(rx): x \in S\}$. Then $m_1(r,u^+) = T(r,u)$, where $T(r,u)$ is the Nevanlinna characteristic of the function $u$, and from monotonicity $m_q(r,u)$ in $q$ one has $$T(r,u) \le m_q(r,u) \le B(r,u).$$ It is known that $$B(r,u) \le \frac{m-2}{r^{m-2}} \frac{(\sigma+1)}{(\sigma-1)^{m-1}} T(\sigma r, u), \quad \sigma>1, \quad r>0.$$ There is considered comparison of the Lebesgue means $m_q(r,u^+)$ and $m_q(r,u)$ with $T(r,u)$.

1. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. М.: Мир, 1980. - С.

2. Miles J., Shea D. On the growth of meromorphic functions having at least one deficient value //Duke Math. J. - 1976. - Vol. 43, №1. - P. 171-186.

3. Shimizu T. On the theory of meromorphic functions //Japan J. Math. - 1929. - Vol. 6. - P.119-171.

4. Хейман У. Мероморфные функции. - М.: Мир, 1966.

5. Говоров Н.В. О гипотезе Пэйли //Функциональный анализ и его приложения. - 1969. - Т.3, №2. - С.41-45.

6. Петренко В.П. Рост мероморфных функций конечного нижнего порядка //Изв. АН СССР. Сер. математическая. - 1969. - Т.33. - С.414-454.

7. Dahlberg B. Mean values of subharmonic functions //Arkiv. för Math. - 1972. - Vol.10. - P. 293-309.

8. Drasin D. and Shea D.F. Pólya peaks and oscillation of positive functions //Proc. Amer. Math. Soc. - 1972. - Vol. 34. - P. 403-411.

9. Берг Й., Лефотрем Й. Интерполяционные пространства. - М.: Мир, 1980.

10. Бурбаки Н: Меры. Интегрирование мер. - М.: Наука, 1987.

11. Кондратюк А.А. Ряды Фурье и мероморфные функции. - Львов: Вища шк. Изд-во при Львов.ун-те, 1988. - 196 с.

12. Содин М.Л. Рост целых и мероморфных функций конечного порядка. - Автореф. дисс.канд. физ.-мат.наук. - Ереван, 1985.

	Comparison of Lebesgue means and Nevanlinna characteristics of subharmonic functions (in Ukrainian)
Author	Kondratyuk A.A., Tarasyuk S.I.. Ivan Franko Lviv State University
Abstract	Let $u$ be a subharmonic in $\mathbb{R}^m$ function, $m \ge 2$, $u(0)=0$, $S$ be a unit sphere in $\mathbb{R}^m$, $\|S\|$ be its surface square. Denote $$m_q(r,u) = \left(\frac{1}{\|S\|} \int_S \|u(rx)\|^q dS(x)\right)^{\frac{1}{q}}, \quad 1 \le q < +\infty, \quad r>0,$$ $u^+=\max\{u,0\}$, $m_\infty(r,u) = B(r,u) = \max\{u(rx): x \in S\}$. Then $m_1(r,u^+) = T(r,u)$, where $T(r,u)$ is the Nevanlinna characteristic of the function $u$, and from monotonicity $m_q(r,u)$ in $q$ one has $$T(r,u) \le m_q(r,u) \le B(r,u).$$ It is known that $$B(r,u) \le \frac{m-2}{r^{m-2}} \frac{(\sigma+1)}{(\sigma-1)^{m-1}} T(\sigma r, u), \quad \sigma>1, \quad r>0.$$ There is considered comparison of the Lebesgue means $m_q(r,u^+)$ and $m_q(r,u)$ with $T(r,u)$.
Keywords	Lebesgue mean, Navanlinna characteristic, subharmonic function
DOI	doi:10.30970/ms.1.74-80
Reference	1. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. М.: Мир, 1980. - С. 2. Miles J., Shea D. On the growth of meromorphic functions having at least one deficient value //Duke Math. J. - 1976. - Vol. 43, №1. - P. 171-186. 3. Shimizu T. On the theory of meromorphic functions //Japan J. Math. - 1929. - Vol. 6. - P.119-171. 4. Хейман У. Мероморфные функции. - М.: Мир, 1966. 5. Говоров Н.В. О гипотезе Пэйли //Функциональный анализ и его приложения. - 1969. - Т.3, №2. - С.41-45. 6. Петренко В.П. Рост мероморфных функций конечного нижнего порядка //Изв. АН СССР. Сер. математическая. - 1969. - Т.33. - С.414-454. 7. Dahlberg B. Mean values of subharmonic functions //Arkiv. för Math. - 1972. - Vol.10. - P. 293-309. 8. Drasin D. and Shea D.F. Pólya peaks and oscillation of positive functions //Proc. Amer. Math. Soc. - 1972. - Vol. 34. - P. 403-411. 9. Берг Й., Лефотрем Й. Интерполяционные пространства. - М.: Мир, 1980. 10. Бурбаки Н: Меры. Интегрирование мер. - М.: Наука, 1987. 11. Кондратюк А.А. Ряды Фурье и мероморфные функции. - Львов: Вища шк. Изд-во при Львов.ун-те, 1988. - 196 с. 12. Содин М.Л. Рост целых и мероморфных функций конечного порядка. - Автореф. дисс.канд. физ.-мат.наук. - Ереван, 1985.
Pages	74-80
Volume	1
Year	1991
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html