Growth of the Poisson-Stieltjes integrals in a half-plane

Author V. V. Kovalyk, I. E. Chyzhykov
ichyzh@lviv.farlep.net
Нацiональний унiверситет “Львiвська полiтехнiка”, Львiвський нацiональний унiверситет iм. I.Франка

Abstract Let $u$ be a harmonic function represented by the Poisson-Stieltjes-type integral in the upper half-plane. We find necessary and sufficient conditions for the relationship $ M_\infty(y, u):=\sup_{x\in \mathbb{R}} |u(x+iy)|=O(y^{-\alpha})$, $\alpha>0$, $y\downarrow 0$.
Keywords harmonic function; Poisson-Stieltjes-type integral
Reference 1. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. – М.: Гос. изд-во технико-теоретич. лит-ры, 1956. – 632 c.

2. Кусис П. Введение в теорию пространств $H^p$. – М.: Мир, 1984. – 366 с.

3. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. - М.: Мир., 1984.

4. Stein E. Singular integrals and differentiability properties of functions. - Princeton Univ. Press, Princeton, 1970, 290 pp.

5. Hardy G.H., Littlewood J.E. Some properties of fractional integrals. II// Math. Zeitschrift – 1931/32. – V.34. – P. 403–439.

6. Chyzhykov I. Growth and representation of analytic and harmonic functions in the unit disk// Ukr. Math. Bull. – 2006. – V.3, №1. – P. 31–44.

7. Чижиков I.Е. Узагальнення однiєї теореми Гардi-Лiттлвуда// Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2006. – Т.49, №2. – C. 74–79.

8. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т.1,2. – М.:Мир, 1965.

9. Duren P.L. Theory of $H^p$ spaces. – Academic press, NY and London, 1970. – 258 pp.

10. Shields A.L., Williams D.L. Bounded projections and the growth of harmonic conjugates in the unit disc// Michigan Math. J. – 1982. – V.29. – P. 3–25.

11. Jerbashian A.M. Functions of $\alpha$-bounded type in the half-plane, Springer, NY, 2005. – 196 pp.

12. Гришин А.Ф. О регулярности роста субгармонических функций. III // Теория функций, функц. анализ и их прил. – 1968. – Вып. 7. – С.59–84.

13. Гришин А.Ф. Непрерывность и асимптотическая непрерывность субгармонических функций// Мат. физика, анализ, геометрия. – 1994. – Т.1, №2. – С. 193–215.

14. Fedorov M.A., Grishin A.F. Some questions of the Nevanlinna theory for the complex half-plane// Math. Physics, Analysis and Geometry (Kluwer Acad. Publish.) – 1998. – V.1, №3. – P. 223–271.

15. Gardinen S.J. Representation and growth of subharmonic functions in half-spaces// Proc. London Math. Soc. (3). – 1984. – V.48. – P. 300–318.

Pages 155-164
Volume 35
Issue 2
Year 2011
Journal Matematychni Studii
Full text of paper PDF
Table of content of issue HTML