The functional generalization of one Bernstein's theorem (in Ukrainian)

H.A.Voloshyn; V.K.Maslyuchenko

It is proved the functional analogue of the known Bernstein's theorem for finite number of given functions: for arbitrary continuous functions $\alpha_k\colon [0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ such that $\alpha_0(x)\geq \alpha_1(x)\geq$ $ \ldots \geq \alpha_n(x)\geq 0$ on $[0,1]$ exists a continuous function $f\colon [0,1]^2\rightarrow \mathbb{R}$ such that $E_k(f^x)=\alpha_k(x)$ for every $k\in\{0,1,\ldots,n\}$\ and arbitrary $x$ from $[0,1]$.

1. Bernstein S.N.\ Sur le problème inverse de la théorie de la meilleure approximation des fonctions continues // Comp. Rend. - 1938. - V.206. - P. 1520-1523.

2. Никольский С.M. Приближение многочленами функций действительного переменного // Mатематика в СССР зa 30 лет. - M.-Л.: ГИTTЛ, 1948. - C. 288-318.

3. Tиман A.Ф. Теория приближений функций действительного переменного. - M.: Физмaтгиз, 1960. - 624~с.

4. Шведов А.С. Существование елемента с заданными величинами наилучших приближений. - Москва: Инст. прикл. матем. АН СССР им. М.В. Келдыша, 1982. - Препр. № 55. - 20~с.

5. Шведов А.С. Существование елемента с заданной последовательностью наилучших прибли\-жений // Теория приближений функций. Труды Межд. конф. по теор. приближ. функ. - Киев, 1983. - М.: Наука, 1987. - С. 473-475.

6. Lewicki G. A theorem of Bernstein's type for linear projections // Zeszyty naukowe Universytetu Jagiellonskiego Acta Mathematica. - 1988. - V.27. - P. 23-27.

7. Васильев А.И. Обратная задача теории наилучшего приближения в $F$-пространствах // Докл. РАН. - 1999. - С. 583-585.

8. Бородин П.А. К задаче существования элемента с заданными уклонениями от расширяющейся системы подпространств // Мат. заметки. - 2006. - V.80, № 5. - С. 657-667.

9. Maslyuchenko V.K., Voloshyn H.A. On one Bernstein's theorem // Intern. Scient. Conf. ''Infinite dimensional analysis and topology'' (May 27-June 1, 2009). Abstracts. - Ivano-Frankivsk, 2009. - P. 24-26.

10. Волошин Г.А., Маслюченко В.К. Узагальнення однієї теореми Бернштейна // Матем. вісн. НТШ. - 2009. - T.6. - C. 62-72.

11. Волошин Г.А., Маслюченко В.К. Многочлени Бернштейна і нарізно неперервні функції // Наук. вісн. Чернівец. ун-ту. - Чернівці: Рута, 2007. - Вип. 336-337. - C. 52-56.

12. Волошин Г.А., Маслюченко В.К. Про функціональне узагальнення однієї теореми Бернштейна // Міжн. конф. до 100-річчя М.М. Боголюбова та 70-річчя М.І. Нагнибіди (8-13 червня, 2009). Тези доповідей. - Чернівці, 2009. - С. 149-150.

13. Волошин Г.А., Маслюченко В.К. До питання про узагальнення однієї теореми Бернштейна // FM 2009 Conf. ``Functional Methods in Approximation Theory and Operator Theory III'' dedicated to the memory of V.K. Dzyadyk (1919-1998) (August 22-26, 2009). Abstracts. - Kyiv, 2009. - C. 106-107.

14. Kroo A. The continuoty of best approximatious// Acta Math. Acad. Sci. Hungary - 1977. - V.30.- P.~175-188.

	The functional generalization of one Bernstein's theorem (in Ukrainian)
Author	H.A.Voloshyn, V.K.Maslyuchenko math.analysis.chnu@gmail.com Yuriy Fedkovych Chernivtsi National University
Abstract	It is proved the functional analogue of the known Bernstein's theorem for finite number of given functions: for arbitrary continuous functions $\alpha_k\colon [0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ such that $\alpha_0(x)\geq \alpha_1(x)\geq$ $ \ldots \geq \alpha_n(x)\geq 0$ on $[0,1]$ exists a continuous function $f\colon [0,1]^2\rightarrow \mathbb{R}$ such that $E_k(f^x)=\alpha_k(x)$ for every $k\in\{0,1,\ldots,n\}$\ and arbitrary $x$ from $[0,1]$.
Keywords	continuous function, polynomial approximation, best uniform approximation
DOI	doi:10.30970/ms.33.2.220-224
Reference	1. Bernstein S.N.\ Sur le problème inverse de la théorie de la meilleure approximation des fonctions continues // Comp. Rend. - 1938. - V.206. - P. 1520-1523. 2. Никольский С.M. Приближение многочленами функций действительного переменного // Mатематика в СССР зa 30 лет. - M.-Л.: ГИTTЛ, 1948. - C. 288-318. 3. Tиман A.Ф. Теория приближений функций действительного переменного. - M.: Физмaтгиз, 1960. - 624~с. 4. Шведов А.С. Существование елемента с заданными величинами наилучших приближений. - Москва: Инст. прикл. матем. АН СССР им. М.В. Келдыша, 1982. - Препр. № 55. - 20~с. 5. Шведов А.С. Существование елемента с заданной последовательностью наилучших прибли\-жений // Теория приближений функций. Труды Межд. конф. по теор. приближ. функ. - Киев, 1983. - М.: Наука, 1987. - С. 473-475. 6. Lewicki G. A theorem of Bernstein's type for linear projections // Zeszyty naukowe Universytetu Jagiellonskiego Acta Mathematica. - 1988. - V.27. - P. 23-27. 7. Васильев А.И. Обратная задача теории наилучшего приближения в $F$-пространствах // Докл. РАН. - 1999. - С. 583-585. 8. Бородин П.А. К задаче существования элемента с заданными уклонениями от расширяющейся системы подпространств // Мат. заметки. - 2006. - V.80, № 5. - С. 657-667. 9. Maslyuchenko V.K., Voloshyn H.A. On one Bernstein's theorem // Intern. Scient. Conf. ''Infinite dimensional analysis and topology'' (May 27-June 1, 2009). Abstracts. - Ivano-Frankivsk, 2009. - P. 24-26. 10. Волошин Г.А., Маслюченко В.К. Узагальнення однієї теореми Бернштейна // Матем. вісн. НТШ. - 2009. - T.6. - C. 62-72. 11. Волошин Г.А., Маслюченко В.К. Многочлени Бернштейна і нарізно неперервні функції // Наук. вісн. Чернівец. ун-ту. - Чернівці: Рута, 2007. - Вип. 336-337. - C. 52-56. 12. Волошин Г.А., Маслюченко В.К. Про функціональне узагальнення однієї теореми Бернштейна // Міжн. конф. до 100-річчя М.М. Боголюбова та 70-річчя М.І. Нагнибіди (8-13 червня, 2009). Тези доповідей. - Чернівці, 2009. - С. 149-150. 13. Волошин Г.А., Маслюченко В.К. До питання про узагальнення однієї теореми Бернштейна // FM 2009 Conf. ``Functional Methods in Approximation Theory and Operator Theory III'' dedicated to the memory of V.K. Dzyadyk (1919-1998) (August 22-26, 2009). Abstracts. - Kyiv, 2009. - C. 106-107. 14. Kroo A. The continuoty of best approximatious// Acta Math. Acad. Sci. Hungary - 1977. - V.30.- P.~175-188.
Pages	220-224
Volume	33
Issue	2
Year	2010
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html