On spectral properties of the fourth order differential operator with singular coefficients

M. M. Osypchuk; N. I. Portenko

A limit theorem on the number of crossings of an arbitrary level by the sequence of diffusion processes $(x_n(t))_{t\ge0}$, $n=1,2,\dots$, is investigated under the assumption that the drift and diffusion coefficients are given, respectively, by $a_n(x)=na(nx)$ and $b_n(x)=b(nx)$ for $x\in\mathbb{R}$ and $n$ being an integer, where $(a(x))_{x\in\mathbb{R}}$ and $(b(x))_{x\in\mathbb{R}}$ are given periodic functions with the same period.

1. Кулинич Г.Л. Асимптотическая нормальность распределения решения стохастического диффузионного уравнения // Украинский матем. журн. - 1968. - T.20 № 3. - С. 396-400.

2. Кулинич Г.Л. Предельные распределения решения стохастического диффузионного уравнения // Теория вероятн. и её примен. - 1968. - T.XIII, № 3. - C. 502-506.

3. Портенко М.І. Одна формула для резольвенти одновимірного дифузійного процесу та її застосування до граничних теорем // Математика сьогодні'08. - C. 66-96.

4. Аль Фарах Х., Портенко М. Гранична теорема для кількості перетинів фіксованого рівня слабко збіжною послідовністю дифузійних процесів // Інститут математики НАН України. - Препринт 2007.6 - С. 1-24.

5. Kulik A.M. A limit theorem for the number of sign changes for a sequence of one-dimensional diffusions // Theory of Stochastic Processes. - 2008. - T.14(30), № 2. - P. 79-92.

6. Mandl P. Analytical treatment of one-dimensional Markov processes. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York. - 1968.

7. Портенко М.І., Сергієнко М.П. Про збіжність резольвент деякої послідовності дифузійних процесів // Математика сьогодні'09.

8. Stroock D.W., Varadhan S.R.S. Multidimensional diffusion processes.. - Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York. - 1979.

9. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. - М.: Мир. - 1968.

10. Порпер Ф.О., Эйдельман С.В. Асимптотическое поведение классических и обобщённых решений одномерных параболических уравнений второго порядка // Труды Моск. Матем. общества. - 1978. - T. 36. - С. 85-130.

11. Скороход А.В. Некоторые предельные теоремы для аддитивных функционалов от последовательности сум независимых случайных величин // Украинский матем. журн. - 1961. - T.13, № 4. - С. 67-78.

	On the number of crossings of an arbitrary level by the sequence of diffusion processes with the periodic coefficients (in Ukrainian)
Author	M. M. Osypchuk, N. I. Portenko. myosyp@ukr.net, portenko@imath.kiev.ua Vasyl Stephanyk Precarpathian National University, Department of Statistics and Higher Mathematics; Institute of mathematics of NAS of Ukraine, Department of Theory of random processes
Abstract	A limit theorem on the number of crossings of an arbitrary level by the sequence of diffusion processes $(x_n(t))_{t\ge0}$, $n=1,2,\dots$, is investigated under the assumption that the drift and diffusion coefficients are given, respectively, by $a_n(x)=na(nx)$ and $b_n(x)=b(nx)$ for $x\in\mathbb{R}$ and $n$ being an integer, where $(a(x))_{x\in\mathbb{R}}$ and $(b(x))_{x\in\mathbb{R}}$ are given periodic functions with the same period.
Keywords	crossing, diffusion process, periodic coefficient
DOI	doi:10.30970/ms.33.2.199-211
Reference	1. Кулинич Г.Л. Асимптотическая нормальность распределения решения стохастического диффузионного уравнения // Украинский матем. журн. - 1968. - T.20 № 3. - С. 396-400. 2. Кулинич Г.Л. Предельные распределения решения стохастического диффузионного уравнения // Теория вероятн. и её примен. - 1968. - T.XIII, № 3. - C. 502-506. 3. Портенко М.І. Одна формула для резольвенти одновимірного дифузійного процесу та її застосування до граничних теорем // Математика сьогодні'08. - C. 66-96. 4. Аль Фарах Х., Портенко М. Гранична теорема для кількості перетинів фіксованого рівня слабко збіжною послідовністю дифузійних процесів // Інститут математики НАН України. - Препринт 2007.6 - С. 1-24. 5. Kulik A.M. A limit theorem for the number of sign changes for a sequence of one-dimensional diffusions // Theory of Stochastic Processes. - 2008. - T.14(30), № 2. - P. 79-92. 6. Mandl P. Analytical treatment of one-dimensional Markov processes. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York. - 1968. 7. Портенко М.І., Сергієнко М.П. Про збіжність резольвент деякої послідовності дифузійних процесів // Математика сьогодні'09. 8. Stroock D.W., Varadhan S.R.S. Multidimensional diffusion processes.. - Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York. - 1979. 9. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. - М.: Мир. - 1968. 10. Порпер Ф.О., Эйдельман С.В. Асимптотическое поведение классических и обобщённых решений одномерных параболических уравнений второго порядка // Труды Моск. Матем. общества. - 1978. - T. 36. - С. 85-130. 11. Скороход А.В. Некоторые предельные теоремы для аддитивных функционалов от последовательности сум независимых случайных величин // Украинский матем. журн. - 1961. - T.13, № 4. - С. 67-78.
Pages	199-211
Volume	33
Issue	2
Year	2010
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html

On the number of crossings of an arbitrary level by the sequence of diffusion processes with the periodic coefficients (in Ukrainian)