The growth of an entire function with a given sequence of zeros

I.V.Andrusyak; P.V.Filevych

Let $\zeta=(\zeta_n)$ be a sequence of complex numbers tending to $\infty$, and $A(\zeta)$ be the class of entire functions with zeros at the points $\zeta_n$ and only at them. We investigate the problem on minimal growth of functions from the class $A(\zeta)$. In particular, we prove the existence of an entire function $f\in A(\zeta)$ such that \centerline{$\displaystyle \varliminf_{r\to+\infty}\frac{\ln\ln M_f(r)}{\ln N_\zeta(r)}=1, $} where $M_f(r)$ is the maximum modulus of $f$, and $N_\zeta(r)$ denotes the integrated counting function of $\zeta$.

1. Гольдберг А.А., Островский И.В. Распределение значений мероморфных функций. -- М.: Наука 1970.

2. Гольдберг А.А. О представлении мероморфной функции в виде частного целых функций // Изв. вузов. Мат. -- 1972. -- № 10 (125). -- С. 13--17.

3. Frank G., Hennekemper W., Polloczek G. Über die Nullstellen meromorpher Funktionen und deren Ableitungen // Math. Ann. -- 1977. -- V. 225. -- S. 145--154.

4. Bergweiler W. A question of Gol'dberg concerning entire functions with prescribed zeros // J. Anal. Math. -- 1994. -- V. 63. -- P. 121--129.

5. Хирівський І.В. Мінімальне зростання цілих функцій із заданою послідовністю нулів // Мат. студ. -- 1994. -- Т. 3. -- С. 49--51.

6. Bergweiler W. Canonical products of infinite order // J. reine angew. Math. -- 1992. -- V. 430. -- P. 85--107.

7. Miles J. On the growth of entire functions with zero sets having infinite exponent of convergence // Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. -- 2002. -- V. 27. -- P. 69--90.

8. Sheremeta M.M. A remark to the construction of canonical products of minimal growth // Mat. fiz., anal., geom. -- 2004. -- V. 11, № 2.~--- P. 243--248.

9. Blumenthal O. Principes de la th'eory des fonctions enti`eres d'ordre infini. -- Paris: Gauthier-Villars, 1910.

10. Hayman W.K. The local growth of power series: a survey of the Wiman--Valyron method // Canad. Math. Bull. -- 1974. -- V. 17, № 3.~-- P. 317--358.

11. Скаскив О.Б. О некоторых соотношениях между максимумом модуля и максимальным членом целого ряда Дирихле // Мат. заметки.~-- 1999.~-- Т.~66, № 2.~-- С.~282--292.

	The growth of an entire function with a given sequence of zeros
Author	I.V.Andrusyak, P.V.Filevych tftj@franko.lviv.ua Faculty of Mechanics and Mathematics, Lviv Ivan Franko National University,
Abstract	Let $\zeta=(\zeta_n)$ be a sequence of complex numbers tending to $\infty$, and $A(\zeta)$ be the class of entire functions with zeros at the points $\zeta_n$ and only at them. We investigate the problem on minimal growth of functions from the class $A(\zeta)$. In particular, we prove the existence of an entire function $f\in A(\zeta)$ such that \centerline{$\displaystyle \varliminf_{r\to+\infty}\frac{\ln\ln M_f(r)}{\ln N_\zeta(r)}=1, $} where $M_f(r)$ is the maximum modulus of $f$, and $N_\zeta(r)$ denotes the integrated counting function of $\zeta$.
Keywords	entire function, given sequence of zeros, minimal growth, maximum modulus
DOI	doi:10.30970/ms.30.2.115-124
Reference	1. Гольдберг А.А., Островский И.В. Распределение значений мероморфных функций. -- М.: Наука 1970. 2. Гольдберг А.А. О представлении мероморфной функции в виде частного целых функций // Изв. вузов. Мат. -- 1972. -- № 10 (125). -- С. 13--17. 3. Frank G., Hennekemper W., Polloczek G. Über die Nullstellen meromorpher Funktionen und deren Ableitungen // Math. Ann. -- 1977. -- V. 225. -- S. 145--154. 4. Bergweiler W. A question of Gol'dberg concerning entire functions with prescribed zeros // J. Anal. Math. -- 1994. -- V. 63. -- P. 121--129. 5. Хирівський І.В. Мінімальне зростання цілих функцій із заданою послідовністю нулів // Мат. студ. -- 1994. -- Т. 3. -- С. 49--51. 6. Bergweiler W. Canonical products of infinite order // J. reine angew. Math. -- 1992. -- V. 430. -- P. 85--107. 7. Miles J. On the growth of entire functions with zero sets having infinite exponent of convergence // Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. -- 2002. -- V. 27. -- P. 69--90. 8. Sheremeta M.M. A remark to the construction of canonical products of minimal growth // Mat. fiz., anal., geom. -- 2004. -- V. 11, № 2.~--- P. 243--248. 9. Blumenthal O. Principes de la th'eory des fonctions enti`eres d'ordre infini. -- Paris: Gauthier-Villars, 1910. 10. Hayman W.K. The local growth of power series: a survey of the Wiman--Valyron method // Canad. Math. Bull. -- 1974. -- V. 17, № 3.~-- P. 317--358. 11. Скаскив О.Б. О некоторых соотношениях между максимумом модуля и максимальным членом целого ряда Дирихле // Мат. заметки.~-- 1999.~-- Т.~66, № 2.~-- С.~282--292.
Pages	115-124
Volume	30
Issue	2
Year	2008
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html