Random gap series and Wiman's inequality (in Ukrainian)

O.B.Skaskiv

Let $f(z)=\sum_{k=0}^{+\infty}a_{k}z^{n_k}$\ $(z\in\mathbb{C})$ be an entire function such that $(\exists\ \rho\in [1/2;1])(\exists\ \Delta>0, D>0):$ $|k-\Delta n_k^{\rho}|≤D$ $(k\ge k_{0}),$ and $ \mathcal{K}(f)=\left\{f(z,t)=\sum_{k=0}^{+\infty}a_{k}Z_{k}(t)z^{n_k}: t\in [0;1]\right\} $, where $ (Z_k(t)) $ is a multiplicative system on $ [0;1] $.

It is established that for all $ \varepsilon >0 $, there exists a set $ E\subset {\mathbb R}_+ $, with $ \text{ln--meas}\, E \stackrel{\rm def}{=} \int_{E\cap[1,+\infty)} \frac{dr}{r}<+\infty $, such that for all $ r\ge r_{0}(t),\ r\notin E $, the inequality

\[ M_f(r,t)\leq \mu_f(r)(\ln\mu_f(r))^{(2\rho-1)/4+\varepsilon} \]

holds almost surely in $ \mathcal{K}(f) $, where $ M_f(r,t)=\max\{|f(z,t)|:|z|=r\} $, $ \mu_f(r)= \max\{|a_{k}|r^{n_k}: k\geq 0\} $, $ r\in {\mathbb R}_+ $.

1. Valiron G. Fonctions analytiques. -- Paris: Press. Univer. de France, 1954.

2. Wittich H. Neuere Untersuchungen über eindeutige analytische Funktionen. -- Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer-Verlag, 1955.

3. Шеремета М.Н. Метод Вимана-Валирона для целых функций, заданных рядами Дирихле // Докл. АН СССР. -- 1978. -- Т.240, №5. -- С.1036--1039.

4. Скасків О.Б. Про класичну нерівність Вімана для цілих рядів Діріхле // Вісн. Львів. ун-ту, сер. мех.-мат. -- 1999. -- Вип.54. -- С.180--182.

5. Lévi P. Sur la croissance des fonctions entières // Bull. Soc. Math. France. -- 1930. -- V.58. -- P.29--59; P.127--149.

6. Філевич П.В. Співвідношення між максимумом модуля і максимальним членом для випадкових цілих функцій // Мат. студії. -- 1997. -- Т.7, № 2. -- С.165--174.

7. Скасків О.Б., Зрум О.В. Про виняткову множину у нерівностях типу Вімана для цілих функцій // Математичні студії. -- 2004. -- Т.21, №1. -- C.13--24.

	Random gap series and Wiman's inequality (in Ukrainian)
Author	O.B.Skaskiv Ivan Franko National University of Lviv
Abstract	Let $f(z)=\sum_{k=0}^{+\infty}a_{k}z^{n_k}$\ $(z\in\mathbb{C})$ be an entire function such that $(\exists\ \rho\in [1/2;1])(\exists\ \Delta>0, D>0):$ $\|k-\Delta n_k^{\rho}\|≤D$ $(k\ge k_{0}),$ and \( \mathcal{K}(f)=\left\{f(z,t)=\sum_{k=0}^{+\infty}a_{k}Z_{k}(t)z^{n_k}: t\in [0;1]\right\} \), where \( (Z_k(t)) \) is a multiplicative system on \( [0;1] \). It is established that for all \( \varepsilon >0 \), there exists a set \( E\subset {\mathbb R}_+ \), with \( \text{ln--meas}\, E \stackrel{\rm def}{=} \int_{E\cap[1,+\infty)} \frac{dr}{r}<+\infty \), such that for all \( r\ge r_{0}(t),\ r\notin E \), the inequality \[ M_f(r,t)\leq \mu_f(r)(\ln\mu_f(r))^{(2\rho-1)/4+\varepsilon} \] holds almost surely in \( \mathcal{K}(f) \), where \( M_f(r,t)=\max\{\|f(z,t)\|:\|z\|=r\} \), \( \mu_f(r)= \max\{\|a_{k}\|r^{n_k}: k\geq 0\} \), \( r\in {\mathbb R}_+ \).
Keywords	random gap series, Wiman's inequality, entire function
DOI	doi:10.30970/ms.30.1.101-106
Reference	1. Valiron G. Fonctions analytiques. -- Paris: Press. Univer. de France, 1954. 2. Wittich H. Neuere Untersuchungen über eindeutige analytische Funktionen. -- Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer-Verlag, 1955. 3. Шеремета М.Н. Метод Вимана-Валирона для целых функций, заданных рядами Дирихле // Докл. АН СССР. -- 1978. -- Т.240, №5. -- С.1036--1039. 4. Скасків О.Б. Про класичну нерівність Вімана для цілих рядів Діріхле // Вісн. Львів. ун-ту, сер. мех.-мат. -- 1999. -- Вип.54. -- С.180--182. 5. Lévi P. Sur la croissance des fonctions entières // Bull. Soc. Math. France. -- 1930. -- V.58. -- P.29--59; P.127--149. 6. Філевич П.В. Співвідношення між максимумом модуля і максимальним членом для випадкових цілих функцій // Мат. студії. -- 1997. -- Т.7, № 2. -- С.165--174. 7. Скасків О.Б., Зрум О.В. Про виняткову множину у нерівностях типу Вімана для цілих функцій // Математичні студії. -- 2004. -- Т.21, №1. -- C.13--24.
Pages	101-106
Volume	30
Issue	1
Year	2008
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html