On well-posedness of boundary problems for elliptic equations in general anisotropic Lebesgue-Sobolev spaces

М.M.Bokalo; O.V.Domanska

We establish the well-posedness of the boundary-value problems for some class of non-linear elliptic equations having exponential non-linearities in unbounded domains. We consider mixed boundary conditions and varying exponents of nonlinearity which are different with respect to various derivatives and we seek for the weak solutions in the corresponding general anisotropic Lebesgue-Sobolev spaces.

1. Ruzic R. Užicka M. Electrorheological fluids: modeling and mathematical theory. -- Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, 2000. -- V. 1748. -- 176 pp.

2. Levine Levine S., Chen Y., Stanich J. Image restoration via nonstandard diffusion, Technical Report 04-01, Dept. of Mathematics and Computer Science, Duquesne University. -- 2004. -- P. 765--782.

3. Lions Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. -- M.: Мир, 1972. -- 608 с.

4. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. -- М.:Мир, 1978. -- 336 с.

5. Brezis H. Semilinear equations in $\mathbb{R}^N$ without conditions at infinity// Appl. Math. Optim. -- 1984. -- №12. -- P.271--282.

6. Шишков А.Е. Разрешимость граничных задач для квазилинейных эллиптических и параболических уравнений в неограниченных областях в классах функций, растущих на бесконечности// Укр. мат. журн. -- 1995. -- Т.47, №2. -- С.277--289.

7. Бокало М. М., Кушнір О. В. Про коректність крайових задач для квазілінійних еліптичних систем в необмежених областях // Математичні Студії. -- 2005. -- Т.24,№1. -- С.69--82.

8. Antontsev S., Shmarev S. Elliptic equations and systems with nonstandard growth conditions: existence, uniqueness and localization properties of solutions// Nonlinear Anal. -- 2006. -- V.65, №4. -- P.728--761.

9. Медвідь І. Задачі для нелінійних еліптичних і параболічних рівнянь в анізотропних просторах // Вісник Львів. ун-ту. Серія мех.-мат. -- 2005. -- Вип.64. -- С. 149--166.

10. Li F.-Q. Anisotropic elliptic equations in $L^{m^*}$// J. Convex Anal. -- 2001. -- V.8, №2. -- P.417--422.

11. Бокало Н.М. О задаче без начальных условий для некоторых классов нелинейных параболических уравнений // Тр. семинара им. И.Г.Петровского. -- М.: Изд-во Моск. ун-та, -- 1989. -- Вып.14. -- С. 3--44.

12. Kováčik O., Rákosník J. On spaces $L^{p(x)}(\Omega)$ and $W^{1,\,p(x)}$// Czechoslovak Math. J. -- 1991. -- V.41, №4. -- P.592--618.

13. Бугрій О.М. Параболічні варіаційні нерівності в узагальнених просторах Лебега // Наукові записки Вінницького держ. пед. ун-ту ім. М. Коцюбинського. Серія фіз.-мат. -- 2002. -- Вип.1. -- С.310

	On well-posedness of boundary problems for elliptic equations in general anisotropic Lebesgue-Sobolev spaces
Author	М.M.Bokalo, O.V.Domanska Faculty of Mechanics and Mathematics, Lviv Ivan Franko National University
Abstract	We establish the well-posedness of the boundary-value problems for some class of non-linear elliptic equations having exponential non-linearities in unbounded domains. We consider mixed boundary conditions and varying exponents of nonlinearity which are different with respect to various derivatives and we seek for the weak solutions in the corresponding general anisotropic Lebesgue-Sobolev spaces.
Keywords	well-posedness, boundary problem, elliptic equation, anisotropic Lebesgue-Sobolev space
DOI	doi:10.30970/ms.28.1.77-91
Reference	1. Ruzic R. Užicka M. Electrorheological fluids: modeling and mathematical theory. -- Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, 2000. -- V. 1748. -- 176 pp. 2. Levine Levine S., Chen Y., Stanich J. Image restoration via nonstandard diffusion, Technical Report 04-01, Dept. of Mathematics and Computer Science, Duquesne University. -- 2004. -- P. 765--782. 3. Lions Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. -- M.: Мир, 1972. -- 608 с. 4. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. -- М.:Мир, 1978. -- 336 с. 5. Brezis H. Semilinear equations in $\mathbb{R}^N$ without conditions at infinity// Appl. Math. Optim. -- 1984. -- №12. -- P.271--282. 6. Шишков А.Е. Разрешимость граничных задач для квазилинейных эллиптических и параболических уравнений в неограниченных областях в классах функций, растущих на бесконечности// Укр. мат. журн. -- 1995. -- Т.47, №2. -- С.277--289. 7. Бокало М. М., Кушнір О. В. Про коректність крайових задач для квазілінійних еліптичних систем в необмежених областях // Математичні Студії. -- 2005. -- Т.24,№1. -- С.69--82. 8. Antontsev S., Shmarev S. Elliptic equations and systems with nonstandard growth conditions: existence, uniqueness and localization properties of solutions// Nonlinear Anal. -- 2006. -- V.65, №4. -- P.728--761. 9. Медвідь І. Задачі для нелінійних еліптичних і параболічних рівнянь в анізотропних просторах // Вісник Львів. ун-ту. Серія мех.-мат. -- 2005. -- Вип.64. -- С. 149--166. 10. Li F.-Q. Anisotropic elliptic equations in $L^{m^*}$// J. Convex Anal. -- 2001. -- V.8, №2. -- P.417--422. 11. Бокало Н.М. О задаче без начальных условий для некоторых классов нелинейных параболических уравнений // Тр. семинара им. И.Г.Петровского. -- М.: Изд-во Моск. ун-та, -- 1989. -- Вып.14. -- С. 3--44. 12. Kováčik O., Rákosník J. On spaces $L^{p(x)}(\Omega)$ and $W^{1,\,p(x)}$// Czechoslovak Math. J. -- 1991. -- V.41, №4. -- P.592--618. 13. Бугрій О.М. Параболічні варіаційні нерівності в узагальнених просторах Лебега // Наукові записки Вінницького держ. пед. ун-ту ім. М. Коцюбинського. Серія фіз.-мат. -- 2002. -- Вип.1. -- С.310
Pages	77-91
Volume	28
Issue	1
Year	2007
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html