On specification of an estimate of Nevanlinna-Weierstrass' product (in Ukrainian)

V.M.Dil'nyi

Let $(\lambda_n)$ be a sequence, $\lambda_n\in\mathbb C_+=\{z:\text{Re}z>0\}$. If $ \lim\limits_{r\to +\infty}\big(\sum\limits_{|\lambda_n|\leqslant 1} \text{Re}\lambda_n+ \sum\limits_{1<|\lambda_n|\leqslant r}\big( \frac{1}{|\lambda_n|}- \frac{|\lambda_n|}{r^2}\big) \frac{\text{Re}\lambda_n}{|\lambda_n|}-\frac{\sigma}{\pi}\ln r\big)=-\infty, $ then for the first genus Nevanlinna-Weierstrass' product $\Pi^*$ in the half-plane $\mathbb C_+$ the estimate $ \lim\limits_{x\to +\infty} \big(\frac{\ln\big|\Pi^*(x+iy)\big|}{x}-\frac{2\sigma}{\pi}\ln x \big)=-\infty $ is true uniformly in $y$ on each interval $[a;b]\subset\mathbb R$.

1. Винницкий Б. В. О нулях функций, аналитических в полуплоскости, и полноте систем экспонент// Укр. мат. журн. --1994. -- Т.46, № 5. --C.484--500.

2. Винницкий Б. В., Шаповаловский А.В. О полноте систем экспонент с весом// Укр. мат. журн. --1989. -- T.41, № 12. --C.1695--1700.

3. Vynnytskyi B. V., Sharan V. L. On the factorization of one class of functions analytic in the half-plane// Matematychni Studii. --2000. -- V.14, № 1. -- P.41--48.

4. Говоров Н. В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом. --М.: Наука, 1986. --240 с.

5. Винницький Б. В., Дільний В. М. Про необхідні умови існування розв'язків одного рівняння типу згортки// Матем. студії. -- 2001. -- T.16, № 1. -- C.61--70.

6. Винницкий Б. В., Дильный В. Н. Об обобщении теоремы Бёрлинга--Лакса// Mатем. заметки -- 2006. -- T.79. № 3. -- C.362-368.

7. Erratum// Матем. студії. -- 2001. -- T.16, № 1. -- C.110.

8. Седлецкий А.М. Эквивалентное определение пространств $H^p$ в полуплоскости и некоторые приложения// Математический сборник. -- 1975. -- T.96, № 1. -- C.75--82.

9. Martirosian V. On a theorem of Djrbashian of the Phragmen-Lindel\"of type// Math. Nachr. -- 1989. -- V.144. -- P.21--27.

10. Винницький Б. В. Про нулі деяких класів функцій, аналітичних в півплощині// Матем. студії. -- 1997. -- T.7, № 1. -- C.41--52.

11. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. --М.:Наука. -- 1966. --672 с.

	On specification of an estimate of Nevanlinna-Weierstrass' product (in Ukrainian)
Author	V.M.Dil'nyi dilnyi@ukr.net Drohobych Ivan Franko State Pedagogical University
Abstract	Let $(\lambda_n)$ be a sequence, $\lambda_n\in\mathbb C_+=\{z:\text{Re}z>0\}$. If $ \lim\limits_{r\to +\infty}\big(\sum\limits_{\|\lambda_n\|\leqslant 1} \text{Re}\lambda_n+ \sum\limits_{1<\|\lambda_n\|\leqslant r}\big( \frac{1}{\|\lambda_n\|}- \frac{\|\lambda_n\|}{r^2}\big) \frac{\text{Re}\lambda_n}{\|\lambda_n\|}-\frac{\sigma}{\pi}\ln r\big)=-\infty, $ then for the first genus Nevanlinna-Weierstrass' product $\Pi^$ in the half-plane $\mathbb C_+$ the estimate $ \lim\limits_{x\to +\infty} \big(\frac{\ln\big\|\Pi^(x+iy)\big\|}{x}-\frac{2\sigma}{\pi}\ln x \big)=-\infty $ is true uniformly in $y$ on each interval $[a;b]\subset\mathbb R$.
Keywords	first genus Nevanlinna-Weierstrass' product, half-plane, uniform estimate
DOI	doi:10.30970/ms.28.1.41-44
Reference	1. Винницкий Б. В. О нулях функций, аналитических в полуплоскости, и полноте систем экспонент// Укр. мат. журн. --1994. -- Т.46, № 5. --C.484--500. 2. Винницкий Б. В., Шаповаловский А.В. О полноте систем экспонент с весом// Укр. мат. журн. --1989. -- T.41, № 12. --C.1695--1700. 3. Vynnytskyi B. V., Sharan V. L. On the factorization of one class of functions analytic in the half-plane// Matematychni Studii. --2000. -- V.14, № 1. -- P.41--48. 4. Говоров Н. В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом. --М.: Наука, 1986. --240 с. 5. Винницький Б. В., Дільний В. М. Про необхідні умови існування розв'язків одного рівняння типу згортки// Матем. студії. -- 2001. -- T.16, № 1. -- C.61--70. 6. Винницкий Б. В., Дильный В. Н. Об обобщении теоремы Бёрлинга--Лакса// Mатем. заметки -- 2006. -- T.79. № 3. -- C.362-368. 7. Erratum// Матем. студії. -- 2001. -- T.16, № 1. -- C.110. 8. Седлецкий А.М. Эквивалентное определение пространств $H^p$ в полуплоскости и некоторые приложения// Математический сборник. -- 1975. -- T.96, № 1. -- C.75--82. 9. Martirosian V. On a theorem of Djrbashian of the Phragmen-Lindel\"of type// Math. Nachr. -- 1989. -- V.144. -- P.21--27. 10. Винницький Б. В. Про нулі деяких класів функцій, аналітичних в півплощині// Матем. студії. -- 1997. -- T.7, № 1. -- C.41--52. 11. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. --М.:Наука. -- 1966. --672 с.
Pages	41-44
Volume	28
Issue	1
Year	2007
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html