Problem without initial data for a pseudoparabolic equation in generalized Lebesgue spaces (in Ukrainian)

H.P.Domans'ka; M.O.Kolin'ko; S.P.Lavrenyuk

We consider a pseudoparabolic equation of the type $$ u_t-\sum\limits_{i,j=1}^n (b_{ij}(x)u_{tx_i})_{x_j}-\sum\limits_{i,j=1}^n (a_{ij}(x,t)u_{x_i})_{x_j}+a_0(x)|u|^{p(x)-2}u=f_0(x,t)-\sum\limits_{i=1}^n f_{i,x_i}(x,t).$$ Some sufficient conditions of the existence and uniqueness of a weak solution for the problem without initial data are obtained.

1. Соболев С.Л. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР. Сер. матем. -- 1954.~-- Т.~18, №~1.~-- С.~3--50.

2. Гальперн С.А. Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частными производными // ДАН СССР.~-- 1958.~-- Т.~119, №~4.~-- С.~640--643.

3. Баренблат Г.И., Желтов Ю.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // Прикл. матем. и мех.~-- 1960.~-- Т.~24, Вып.~5.~-- С.~852--864.

4. Chen P.J., Gurtin M.E. On a theory of head conduction involving to temperatures // Z. Angew. Math. Phys.~-- 1968.~-- V.19.~-- P.~614--627.

5. Чудновский А.Ф. Теплофизика почв. -- Москва: Наука, 1976.~-- 352~с.

6. Тихонов А.Н. Теоремы единственности для уравнения теплопроводности // Мат. сборник.~-- 1935.~--Т.~42, № 2.~-- С.~199--216.

7. Искендеров И.Т., Ахмедов Н.К. О поведении решений некоторого класса нелинейных псевдопараболических уравнений в неограниченных областях по $t$ // Краев. задачи для дифференц. уравнений с частн. производными.~-- Баку, 1990.~-- С.~64--66.

8. Бас М.О., Лавренюк С.П. Про єдиність розв'язку задачі Фур'є для однієї системи типу Соболєва-Гальперна // Укр. мат. журн. -- 1996. -- Т. 48, № 1. -- С.124--128.

9. Lavrenjuk S.P., Kolinko M.O. The problem without initial data for linear Sobolev-Halpern system // Demonstratio Math.~-- 1998.~-- V.31, no 1.~-- P.~25--32.

10. Бокало Н.М. О задаче без начальных условий для некоторых классов нелинейных параболических уравнений // Труды семинара им. И.Г.Петровского.~-- 1989.~-- Вып.~14.~-- С.~3--44.

11. Колінько М.О., Лавренюк С.П. Єдиність розв'язку задачі Фур'є для однієї нелінійної псевдопараболічної системи // Вісник Львів. у-ту. Сер. мех.-матем.~-- 1996.~-- Вип.~45.~-- С.~71--77.

12. Колінько М.О., Лавренюк С.П. Існування розв'язку однієї нелінійної псевдопараболічної системи // Вісник Львів. у-ту. Сер. мех.-матем.~-- 1997.~-- Вип.~48.~-- С.~44--49.

13. Лавренюк С.П., Пташник М.Б. Задача без начальных условий для нелинейной псевдопараболической системи // Дифференциальные уравнения. -- 2000. -- Т. 36, № 5. -- С. 667--673.

14. Лавренюк С. П., Пташник М. Б. Задача Фур'є для псевдопараболічного рівняння // Нелинейные граничные задачи. -- 2000. -- № 10. -- C. 123-135.

15. Kovacik O., Rakosnic J. On spaces $L^{p(x)}, W^{k, p(x)}$ // Czechosl. Math. J. -- 1991. -- V. 41, no 4. -- P.592--618.

16. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. -- М.: Мир, 1972. -- 608~c.

17. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. -- М.: Мир, 1978. -- 336~с.

18. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений.-- Москва: Изд-во иностр. лит., 1958. -- 475~с.

	Problem without initial data for a pseudoparabolic equation in generalized Lebesgue spaces (in Ukrainian)
Author	H.P.Domans'ka, M.O.Kolin'ko, S.P.Lavrenyuk Ivan Franko Lviv National University, Rzeszow University, Poland
Abstract	We consider a pseudoparabolic equation of the type $$ u_t-\sum\limits_{i,j=1}^n (b_{ij}(x)u_{tx_i})_{x_j}-\sum\limits_{i,j=1}^n (a_{ij}(x,t)u_{x_i})_{x_j}+a_0(x)\|u\|^{p(x)-2}u=f_0(x,t)-\sum\limits_{i=1}^n f_{i,x_i}(x,t).$$ Some sufficient conditions of the existence and uniqueness of a weak solution for the problem without initial data are obtained.
Keywords	pseudoparabolic equation, Lebesgue space, weak solution
DOI	doi:10.30970/ms.25.1.73-86
Reference	1. Соболев С.Л. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР. Сер. матем. -- 1954.~-- Т.~18, №~1.~-- С.~3--50. 2. Гальперн С.А. Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частными производными // ДАН СССР.~-- 1958.~-- Т.~119, №~4.~-- С.~640--643. 3. Баренблат Г.И., Желтов Ю.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // Прикл. матем. и мех.~-- 1960.~-- Т.~24, Вып.~5.~-- С.~852--864. 4. Chen P.J., Gurtin M.E. On a theory of head conduction involving to temperatures // Z. Angew. Math. Phys.~-- 1968.~-- V.19.~-- P.~614--627. 5. Чудновский А.Ф. Теплофизика почв. -- Москва: Наука, 1976.~-- 352~с. 6. Тихонов А.Н. Теоремы единственности для уравнения теплопроводности // Мат. сборник.~-- 1935.~--Т.~42, № 2.~-- С.~199--216. 7. Искендеров И.Т., Ахмедов Н.К. О поведении решений некоторого класса нелинейных псевдопараболических уравнений в неограниченных областях по $t$ // Краев. задачи для дифференц. уравнений с частн. производными.~-- Баку, 1990.~-- С.~64--66. 8. Бас М.О., Лавренюк С.П. Про єдиність розв'язку задачі Фур'є для однієї системи типу Соболєва-Гальперна // Укр. мат. журн. -- 1996. -- Т. 48, № 1. -- С.124--128. 9. Lavrenjuk S.P., Kolinko M.O. The problem without initial data for linear Sobolev-Halpern system // Demonstratio Math.~-- 1998.~-- V.31, no 1.~-- P.~25--32. 10. Бокало Н.М. О задаче без начальных условий для некоторых классов нелинейных параболических уравнений // Труды семинара им. И.Г.Петровского.~-- 1989.~-- Вып.~14.~-- С.~3--44. 11. Колінько М.О., Лавренюк С.П. Єдиність розв'язку задачі Фур'є для однієї нелінійної псевдопараболічної системи // Вісник Львів. у-ту. Сер. мех.-матем.~-- 1996.~-- Вип.~45.~-- С.~71--77. 12. Колінько М.О., Лавренюк С.П. Існування розв'язку однієї нелінійної псевдопараболічної системи // Вісник Львів. у-ту. Сер. мех.-матем.~-- 1997.~-- Вип.~48.~-- С.~44--49. 13. Лавренюк С.П., Пташник М.Б. Задача без начальных условий для нелинейной псевдопараболической системи // Дифференциальные уравнения. -- 2000. -- Т. 36, № 5. -- С. 667--673. 14. Лавренюк С. П., Пташник М. Б. Задача Фур'є для псевдопараболічного рівняння // Нелинейные граничные задачи. -- 2000. -- № 10. -- C. 123-135. 15. Kovacik O., Rakosnic J. On spaces $L^{p(x)}, W^{k, p(x)}$ // Czechosl. Math. J. -- 1991. -- V. 41, no 4. -- P.592--618. 16. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. -- М.: Мир, 1972. -- 608~c. 17. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. -- М.: Мир, 1978. -- 336~с. 18. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений.-- Москва: Изд-во иностр. лит., 1958. -- 475~с.
Pages	73-86
Volume	25
Issue	1
Year	2006
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html