Method of solving a Cauchy problem for homogeneous differential-operator equation and its applications

P.I.Kalenyuk; Z.M.Nytrebych; P. Dryga{'s}

We propose a scheme of solving a Cauchy problem for a homogeneous differential-operator equation of high order with operator coefficients in Banach space. For initial data from a special subspace of the Banach space in which the vectors are represented as Stieltjes integrals with respect to a certain measure, the solution of the problem is represented as a sum of certain Stieltjes integrals with respect to the same measure. We give some examples of the application of the scheme to solving a Cauchy problem for partial differential equations of infinite order in the spatial variable in infinite order Sobolev classes and in classes of entire analytical functions of certain orders.

1. Горбачук В.И., Горбачук М.Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. -- К.: Наук. думка, 1984. -- 284 с.

2. Дубинский Ю.А. Алгебра псевдодифференциальных операторов с аналитическими символами и ее приложения к математической физике // Успехи мат. наук. -- 1982. -- Т.37, № 5. -- С. 97--159.

3. Дубинский Ю.А. Задача Коши и псевдодифференциальные операторы в комплексной области // Успехи мат. наук. -- 1990. -- Т.45, №2. -- С. 115--142.

4. Каленюк П.И., Баранецкий Я.Е., Нитребич З.Н. Обобщенный метод разделения переменных. -- К.: Наук. думка, 1993. -- 232 с.

5. Каленюк П.І., Нитребич З.М. Узагальнена схема відокремлення змінних. Диференціально-символьний метод. -- Львів: Вид-во НУ ``Львівська політехніка'', 2002. -- 292 с.

6. Радыно Я.В. Дифференциальные уравнения в шкале банаховых пространств // Дифференц. уравнения. -- 1985. -- Т.21, № 8. -- С. 1412--1422.

7. Радыно Я.В. Векторы экспоненциального типа в операторном исчислении и дифференциальных уравнениях // Дифференц. уравнения. -- 1985. -- Т.21, № 9. -- С. 1559--1565.

8. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. -- М.: Наука, 1980. -- 232~с.

9. Chazarain J. Problemes de Cauchy abstraites et applications \'a quelques problemes mixtes // J. Funct. Anal. -- 1971. -- V.7, № 3. -- P. 386--446.

10. Hersh R. Explicit solution of a class of higher order abstract Cauchy problems // J. Diff. Equat. -- 1970. -- V.8, № 3. -- P. 570--573.

11. Hille E., Phillips R.S. Functional analysis and semigroups. -- Amer. Math. Soc., 1982, V.31. -- 820 p.

12. Krein S. Linear differential equation in Banach space. -- Amer. Math. Soc., 1971, V.29. -- 395 p.

13. Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. -- Springer-Verlag, New York, 1983. -- 287 p.

14. Yosida K. Functional analysis. -- Springer-Verlag, New York, 1980. -- 513 p.

	Method of solving a Cauchy problem for homogeneous differential-operator equation and its applications
Author	P.I.Kalenyuk, Z.M.Nytrebych, P. Dryga{'s} Lviv Polytechnic National University, S.Bandery str. 12, Lviv, Ukraine, University of Rzeszów Rejtana str. 17a, Rzeszów Poland
Abstract	We propose a scheme of solving a Cauchy problem for a homogeneous differential-operator equation of high order with operator coefficients in Banach space. For initial data from a special subspace of the Banach space in which the vectors are represented as Stieltjes integrals with respect to a certain measure, the solution of the problem is represented as a sum of certain Stieltjes integrals with respect to the same measure. We give some examples of the application of the scheme to solving a Cauchy problem for partial differential equations of infinite order in the spatial variable in infinite order Sobolev classes and in classes of entire analytical functions of certain orders.
Keywords	Cauchy problem, differential-operator equation, Banach space
DOI	doi:10.30970/ms.25.1.65-72
Reference	1. Горбачук В.И., Горбачук М.Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. -- К.: Наук. думка, 1984. -- 284 с. 2. Дубинский Ю.А. Алгебра псевдодифференциальных операторов с аналитическими символами и ее приложения к математической физике // Успехи мат. наук. -- 1982. -- Т.37, № 5. -- С. 97--159. 3. Дубинский Ю.А. Задача Коши и псевдодифференциальные операторы в комплексной области // Успехи мат. наук. -- 1990. -- Т.45, №2. -- С. 115--142. 4. Каленюк П.И., Баранецкий Я.Е., Нитребич З.Н. Обобщенный метод разделения переменных. -- К.: Наук. думка, 1993. -- 232 с. 5. Каленюк П.І., Нитребич З.М. Узагальнена схема відокремлення змінних. Диференціально-символьний метод. -- Львів: Вид-во НУ ``Львівська політехніка'', 2002. -- 292 с. 6. Радыно Я.В. Дифференциальные уравнения в шкале банаховых пространств // Дифференц. уравнения. -- 1985. -- Т.21, № 8. -- С. 1412--1422. 7. Радыно Я.В. Векторы экспоненциального типа в операторном исчислении и дифференциальных уравнениях // Дифференц. уравнения. -- 1985. -- Т.21, № 9. -- С. 1559--1565. 8. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. -- М.: Наука, 1980. -- 232~с. 9. Chazarain J. Problemes de Cauchy abstraites et applications \'a quelques problemes mixtes // J. Funct. Anal. -- 1971. -- V.7, № 3. -- P. 386--446. 10. Hersh R. Explicit solution of a class of higher order abstract Cauchy problems // J. Diff. Equat. -- 1970. -- V.8, № 3. -- P. 570--573. 11. Hille E., Phillips R.S. Functional analysis and semigroups. -- Amer. Math. Soc., 1982, V.31. -- 820 p. 12. Krein S. Linear differential equation in Banach space. -- Amer. Math. Soc., 1971, V.29. -- 395 p. 13. Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. -- Springer-Verlag, New York, 1983. -- 287 p. 14. Yosida K. Functional analysis. -- Springer-Verlag, New York, 1980. -- 513 p.
Pages	65-72
Volume	25
Issue	1
Year	2006
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html