Darboux type theorems and transformation operators for nonlocal reduced Hermitian Kadomtsev-Petviashvili hierarchy (H$k$-cKP)  (in Ukrainian)

Yu.Yu.Berkela

Our paper includes the survey of results. We investigate a possibility and effectivity of applying different versions of Darboux type transformations for integrating nonlinear models of the soliton theory that are contained in a non-local reduced Kadomtsev-Petviashvili hierarchy. We compare the respective classes of exact solutions obtained with the aid of both classical and binary Darboux transformations. An explicit connection is established at the level of the corresponding operators of binary transformations between Hermitian and ${\cal D}$-Hermitian Kadomtsev-Petviashvili hierarchies.

1. Самойленко А.М., Самойленко В.Г, Сидоренко Ю.М. Iєрархiя рiвнянь Кадомцева-Петвiашвiлi з нелокальними в'язями: Багатовимiрнi узагальнення та точнi розв'язки редукованих систем // Укр. мат. журн. -- 1999. -- Т.~51, № 1. -- C.78-97.

2. Митропольський Ю.О., Самойленко В.Г, Сидоренко Ю.М. Просторово-двовимiрне узагальнення iєрархiї Кадомцева-Петвiашвiлi з нелокальними в'язями // Доп. НАН України. -- 1999. -- № 8. -- С.19-23.

3. Konopelchenko B., Sidorenko Yu., Strampp W. (1+1)-dimensional integrable systems as symmetry constraints of (2+1)-dimensional systems // Phys. Lett. A. -- 1991. -- V.~157. -- P.~17-21.

4. Sidorenko Yu., Strampp W. Symmetry constraints of the KP--hierarchy // Inverse Problems. -- 1991. -- V.~7. -- P.~L37-L43.

5. Konopelchenko B., Strampp W. New reductions of the Kadomtsev-Petviashvili hierarchy and two-dimensional Toda hierarchies via symmetry constraints // J. Math. Phys. -- 1992. -- V.~33, № 11. -- P.~3676--3684.

6. Cheng~Yi. Constrained of the Kadomtsev-Petviashvili hierarchy // J.~Math. Phys. -- 1992. -- V.~33. -- P.~3774-3787.

7. Oevel W., Sidorenko Yu., Strampp W. Hamiltonian structures of the Melnicov system and its Reductions // Inverse Problems. -- 1993. -- V.~9. -- P.~737-747.

8. Sidorenko Yu. KP--hierarchy and (1+1)-dimensional multicomponent integrable systems // Ukr. Math. Journ. -- 1993. -- V.~25, № 1. -- P.~91-104.

9. Sidorenko Yu., Strampp W. Multicomponent integrable reductions in Kadomtsev-Petviashvilli hierarchy // J. Math. Phys. -- 1993. -- V.~34, № 4. -- P.~1429-1446.

10. Марченко В.А. Спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля. -- Киев: Наук. думка, 1972. -- 219 с.

11. Фаддеев Л.Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния // Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики.- М.: ВИНИТИ, 1974. -- С.~93-180.

12. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния // Функцион. анализ и его прил. -- 1974. -- Т.~8, № 3. -- С.~43-53.

13. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов. Метод обратной задачи. -- М.:~Наука, 1980. -- 320~с.

14. Нижник Л.П. Обратные задачи рассеяния для гиперболических уравнений.- Киев: Наук. думка, 1991. -- 232~c.

15. Солитоны / Под ред. Р. Буллафа, Ф. Кодри. -- М.: Мир, 1983. -- 408~с.

16. Марченко В.А. Нелинейные уравнения и операторные алгебры. -- Киев: Наук. думка, 1986. -- 156~с.

17. Dickey L.A. Soliton equations and Hamiltonian systems // Adv. Math. Phys. -- 1991. -- V.~12. -- 310~p.

18. Ohta Y., Satsuma J., Takahashi D., Tokihiro T. An elementary introduction to Sato theory // Prog. Theor. Phys. Suppl. -- 1988. -- V.~94. -- P.~210-241.

19. Darboux G. Le cons sur la Th\'eorie G\'en\'erale de Surface et les Applications Geometriques du Calcul Infinitesimal II., Paris, Gauthiers - Villars, 1889.

20. Crum M.M. Associated Sturm-Liouville systems // Quart. J. Math. Oxford, -- 1955. -- V.~2, № 6, P.~121-127.

21. Matveev V.B. Darboux transformations and explicit solutions of the Kadomtsev--Petviashvily equation depending on the functional parameters // Letter in Mathematical Physics, -- V.~3. -- 1979. -- P.~213-216.

22. Matveev V. B., Salle M.A. Darboux transformations and solitons.- Berlin Heidelberg, Springer-Verlag. -- 1991.

23. Nimmo J.J.C. Darboux transformations for a two-dimensional Zakharov-Shabat AKNS spectral problem // Inverse Problems. -- 1992. -- V.8. -- P. 219-243.

24. Oevel W., Schief W. Darboux theorems and the KP--hierarchy // Applications of Analisys and Geometric Methods to Nonlinear Differential Equations. Ed. Clarcson P.A. -- Dordrecht: Kluwer. -- 1993. -- P.~193-206.

25. Oevel W. Darboux Theorems and Wronskian Formulas for Integrable Systems I: Constrained KP Flows // Physica A. -- 1993. -- V.195. -- P.~533-576.

26. Сидоренко Ю. Н. Метод одевания и преобразования Дарбу // Диф. уравнения. -- 2001. -- Т.~37, № 6.-- С.~853-854.

27. Бабич М.В., Матвеев В.Б., Салль М.А. Бинарное преобразование Дарбу для цепочки Тоды // В кн.: Вопросы квантовой теории поля и статистической физики. (Зап. науч. семин. ЛОМИ АН СССР, Т. 145), Л.: Наука -- 1985. -- С.~34-45.

28. Matveev V. B., Salle M.A. On some new class of the solutions of the KP equation and Johnson equation // Some Topics on Inverse Problems. -- 1988. -- P.~182-212.

29. Boiti M., Pempinelli F., Pogrebkov A.K., Polivanov M.C. New features of B\"acklund and Darboux transformations in 2+1 dimensions // Inverse Problems. -- 1991. -- V.7. -- P. 43-56.

30. Leble S.B., Ustinov N.V. Third order spectral problems: reductions and Darboux transformations // Inverse Problems. -- 1994. -- V.10. -- P. 617-633.

31. Willox R., Loris I., Gilson C.R. Binary Darboux transformations for constrained KP hierarchies // Inverse problems. -- 1997. -- V.13. -- P. 849-865.

32. Nimmo J.J.C. Darboux transformations from reductions of the KP hierarchy // Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems. NEEDS '94. -- World Scientific. -- 1995. -- P.~168-178.

33. Guil F., Manas M. Darboux transformation for the Davey-Stewartson equations // Phys. Lett. A. -- 1996. -- V.217. -- P. 1-6.

34. Ниммо Дж.Дж.К., Джилсон К.Р., Охта Й. Применения преобразований Дарбу к самодуальным уравнениям Янга-Миллса // Теор. и матем. физика. -- 2000. -- Т.122, № 2. -- С. 284-293.

35. Sydorenko Yu.M. Factorization of matrix differential operators and Darboux-like transformations // Математичні студії. -- 2003. -- Т.~19, № 2. -- С.~181-192.

36. Sakhnovich A. Iterated B\"acklund--Darboux transformation and transfer matrix-function (nonisosrectral case) // Chaos, Solitons \& Fractals. -- 1996. -- V.7, № 8 -- P. 1251-1259.

37. Sakhnovich A. Generalized B\"acklund-Darboux transformation: spectral properties and nonlinear equations // Journ. of Math. Anal. and Applic. -- 2001. -- V.262. -- P. 274-306.

38. Sakhnovich A.I. Matrix Kadomtsev-Petviashvili equation: matrix identities and explicit non-singular solutions // J. Phys. A.: Math. Gen. -- 2003. -- V.36, № 18. -- P. 5023-5034.

39. Сидоренко Ю.М. Матричне узагальнення ієрархії Кадомцева-Петвіашвілі і нелінійні інтегровні системи // Нелінійні коливання. -- 1999. -- Т.2, № 2. -- С. 30-39.

40. Кадомцев Б.Б., Петвиашвили В.И. Об устойчивости уединенных волн в слабо диспергирующих средах // Докл. АН СССР. -- 1970. -- Т.~192, № 4. -- С.~753-756.

41. Манаков С. В. Про интегрируемость уравнений Эйлера динамики n-мерного твердого тела // Функцион. анализ и его прил. -- 1976. -- Т.~10, № 4. -- С.~93-94.

42. Yajima N., Oikawa M. Formation and interaction of Sonic-Langmuir solitons: inverse scattering method // Progress Theoret. Phys. -- 1976. -- V.~56, № 6. -- P.~1719-1739.

43. Дринфельд В.Г., Соколов В.В. Алгебры Ли и уравнения типа Кортевега--де Фриза // Современные проблемы математики. (Итоги науки и техники) -- М.:~ВИНИТИ. -- 1984. -- т. 24, С.~81-180.

44. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальнным уравнениям. -- М.: Наука, 1976. -- 576~с.

45. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. -- 525 с.

46. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:ИЛ, 1958. -- 475 с.

47. Сидоренко Ю.М., Гвоздева Е.В. Бинарные преобразования общих уравнений Лакса-Захарова-Шабата // Нелинейные краев. задачи мат. физики и их прилож. -- Киев: Ин-т математики НАН Украины. -- 1999. -- C.~220-224.

48. Cидоренко Ю.М. Бінарні перетворення і (2+1)-вимірні інтегровні системи // Укр. мат. журн. -- 2002. -- Т.~54, № 11. -- С.~1531-1550.

49. Сидоренко Ю.М. Нелокальнi редукцiї в системах, iнтегровних методом оберненої задачi // Нелинейные краевые задачи мат.физики и их прилож. Киев: Ин--т математики НАН Украины. -- 1998. -- C.~199-202.

50. Сидоренко Ю.М. Про узагальнення $\tau$--функції для ієрархії Кадомцева-Петвіашвілі // Вісник Київського університету. Сер. математика і механіка. -- 1998. -- C.~40-49.

51. Сидоренко Ю.М. Метод iнтегрування рiвнянь Лакса з нелокальними редукцiями // Доповiдi НАН України. -- 1999. -- № 9. -- C.~33-36.

52. Berkela Yu.Yu., Sidorenko Yu.M. The exact solutions of some multicomponent integrable models // Математичні студії. -- 2002. -- Т. 17, № 1. -- С.~47--58.

53. Berkela Yu.Yu. Exact solutions of matrix generalization of some integrable systems // Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. -- 2002. -- V.~43, Part 1. -- P.~296-301.

54. Sydorenko Yu. Generalized Binary Darboux--like Theorem for Constrained Kadomtsev--Petviashvili (cKP) Flows // Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. -- 2004. -- V.~50, Part~1. -- P.~470-477.

55. Sidorenko Yu. Transformation operators for integrable hierarchies with additional reductions // Proceedings of Institute of Math. of NAS of Ukraine. -- 2002.-- V.~43, Part 1. -- P.~352-357.

56. Imai K. Dromion and lump solutions of the Ishimori-I equation // Progress of Theor. Physics. -- 1997. -- V.~98, № 5. -- P.~1013-1023.

57. Ishimori Y. Multi-vortex solutions of a two-dimentional nonlinear wave equation // Progr. Theor. Rhys.- 1983. -- V.72. № 1. -- С.~33-39.

58. Сидоренко Ю., Беркела Ю. Інтегрування нелінійних просторово-двовимірних рівнянь Гейзенберга // Математичні студії. -- 2002. -- Т.~18, № 1. -- С.~57-68.

59. Berkela Yu. Integration of Bi-hamiltonian Systems by Using the Dressing Method // Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. -- 2004. -- V.~50, Part 1. -- P.~319-324.

60. Беркела Ю., Сидоренко Ю. Векторно-матричні узагальнення бігамільтонових динамічних систем та їх інтегрування // Математичні студії. -- 2005. -- Т. 23, № 1. -- C. 31--51.

61. Konopelchenko B.G. Solitons in Multidimensions. Singapore: World Scientific, 1993.

	Darboux type theorems and transformation operators for nonlocal reduced Hermitian Kadomtsev-Petviashvili hierarchy (H$k$-cKP) (in Ukrainian)
Author	Yu.Yu.Berkela, Yu.M.Sydorenko Carpathian Biosphere Reserve, Ivan Franko Lviv National University
Abstract	Our paper includes the survey of results. We investigate a possibility and effectivity of applying different versions of Darboux type transformations for integrating nonlinear models of the soliton theory that are contained in a non-local reduced Kadomtsev-Petviashvili hierarchy. We compare the respective classes of exact solutions obtained with the aid of both classical and binary Darboux transformations. An explicit connection is established at the level of the corresponding operators of binary transformations between Hermitian and ${\cal D}$-Hermitian Kadomtsev-Petviashvili hierarchies.
Keywords	Darboux type theorem, transformation operator, soliton
DOI	doi:10.30970/ms.25.1.38-64
Reference	1. Самойленко А.М., Самойленко В.Г, Сидоренко Ю.М. Iєрархiя рiвнянь Кадомцева-Петвiашвiлi з нелокальними в'язями: Багатовимiрнi узагальнення та точнi розв'язки редукованих систем // Укр. мат. журн. -- 1999. -- Т.~51, № 1. -- C.78-97. 2. Митропольський Ю.О., Самойленко В.Г, Сидоренко Ю.М. Просторово-двовимiрне узагальнення iєрархiї Кадомцева-Петвiашвiлi з нелокальними в'язями // Доп. НАН України. -- 1999. -- № 8. -- С.19-23. 3. Konopelchenko B., Sidorenko Yu., Strampp W. (1+1)-dimensional integrable systems as symmetry constraints of (2+1)-dimensional systems // Phys. Lett. A. -- 1991. -- V.~157. -- P.~17-21. 4. Sidorenko Yu., Strampp W. Symmetry constraints of the KP--hierarchy // Inverse Problems. -- 1991. -- V.~7. -- P.~L37-L43. 5. Konopelchenko B., Strampp W. New reductions of the Kadomtsev-Petviashvili hierarchy and two-dimensional Toda hierarchies via symmetry constraints // J. Math. Phys. -- 1992. -- V.~33, № 11. -- P.~3676--3684. 6. Cheng~Yi. Constrained of the Kadomtsev-Petviashvili hierarchy // J.~Math. Phys. -- 1992. -- V.~33. -- P.~3774-3787. 7. Oevel W., Sidorenko Yu., Strampp W. Hamiltonian structures of the Melnicov system and its Reductions // Inverse Problems. -- 1993. -- V.~9. -- P.~737-747. 8. Sidorenko Yu. KP--hierarchy and (1+1)-dimensional multicomponent integrable systems // Ukr. Math. Journ. -- 1993. -- V.~25, № 1. -- P.~91-104. 9. Sidorenko Yu., Strampp W. Multicomponent integrable reductions in Kadomtsev-Petviashvilli hierarchy // J. Math. Phys. -- 1993. -- V.~34, № 4. -- P.~1429-1446. 10. Марченко В.А. Спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля. -- Киев: Наук. думка, 1972. -- 219 с. 11. Фаддеев Л.Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния // Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики.- М.: ВИНИТИ, 1974. -- С.~93-180. 12. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния // Функцион. анализ и его прил. -- 1974. -- Т.~8, № 3. -- С.~43-53. 13. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов. Метод обратной задачи. -- М.:~Наука, 1980. -- 320~с. 14. Нижник Л.П. Обратные задачи рассеяния для гиперболических уравнений.- Киев: Наук. думка, 1991. -- 232~c. 15. Солитоны / Под ред. Р. Буллафа, Ф. Кодри. -- М.: Мир, 1983. -- 408~с. 16. Марченко В.А. Нелинейные уравнения и операторные алгебры. -- Киев: Наук. думка, 1986. -- 156~с. 17. Dickey L.A. Soliton equations and Hamiltonian systems // Adv. Math. Phys. -- 1991. -- V.~12. -- 310~p. 18. Ohta Y., Satsuma J., Takahashi D., Tokihiro T. An elementary introduction to Sato theory // Prog. Theor. Phys. Suppl. -- 1988. -- V.~94. -- P.~210-241. 19. Darboux G. Le cons sur la Th\'eorie G\'en\'erale de Surface et les Applications Geometriques du Calcul Infinitesimal II., Paris, Gauthiers - Villars, 1889. 20. Crum M.M. Associated Sturm-Liouville systems // Quart. J. Math. Oxford, -- 1955. -- V.~2, № 6, P.~121-127. 21. Matveev V.B. Darboux transformations and explicit solutions of the Kadomtsev--Petviashvily equation depending on the functional parameters // Letter in Mathematical Physics, -- V.~3. -- 1979. -- P.~213-216. 22. Matveev V. B., Salle M.A. Darboux transformations and solitons.- Berlin Heidelberg, Springer-Verlag. -- 1991. 23. Nimmo J.J.C. Darboux transformations for a two-dimensional Zakharov-Shabat AKNS spectral problem // Inverse Problems. -- 1992. -- V.8. -- P. 219-243. 24. Oevel W., Schief W. Darboux theorems and the KP--hierarchy // Applications of Analisys and Geometric Methods to Nonlinear Differential Equations. Ed. Clarcson P.A. -- Dordrecht: Kluwer. -- 1993. -- P.~193-206. 25. Oevel W. Darboux Theorems and Wronskian Formulas for Integrable Systems I: Constrained KP Flows // Physica A. -- 1993. -- V.195. -- P.~533-576. 26. Сидоренко Ю. Н. Метод одевания и преобразования Дарбу // Диф. уравнения. -- 2001. -- Т.~37, № 6.-- С.~853-854. 27. Бабич М.В., Матвеев В.Б., Салль М.А. Бинарное преобразование Дарбу для цепочки Тоды // В кн.: Вопросы квантовой теории поля и статистической физики. (Зап. науч. семин. ЛОМИ АН СССР, Т. 145), Л.: Наука -- 1985. -- С.~34-45. 28. Matveev V. B., Salle M.A. On some new class of the solutions of the KP equation and Johnson equation // Some Topics on Inverse Problems. -- 1988. -- P.~182-212. 29. Boiti M., Pempinelli F., Pogrebkov A.K., Polivanov M.C. New features of B\"acklund and Darboux transformations in 2+1 dimensions // Inverse Problems. -- 1991. -- V.7. -- P. 43-56. 30. Leble S.B., Ustinov N.V. Third order spectral problems: reductions and Darboux transformations // Inverse Problems. -- 1994. -- V.10. -- P. 617-633. 31. Willox R., Loris I., Gilson C.R. Binary Darboux transformations for constrained KP hierarchies // Inverse problems. -- 1997. -- V.13. -- P. 849-865. 32. Nimmo J.J.C. Darboux transformations from reductions of the KP hierarchy // Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems. NEEDS '94. -- World Scientific. -- 1995. -- P.~168-178. 33. Guil F., Manas M. Darboux transformation for the Davey-Stewartson equations // Phys. Lett. A. -- 1996. -- V.217. -- P. 1-6. 34. Ниммо Дж.Дж.К., Джилсон К.Р., Охта Й. Применения преобразований Дарбу к самодуальным уравнениям Янга-Миллса // Теор. и матем. физика. -- 2000. -- Т.122, № 2. -- С. 284-293. 35. Sydorenko Yu.M. Factorization of matrix differential operators and Darboux-like transformations // Математичні студії. -- 2003. -- Т.~19, № 2. -- С.~181-192. 36. Sakhnovich A. Iterated B\"acklund--Darboux transformation and transfer matrix-function (nonisosrectral case) // Chaos, Solitons \& Fractals. -- 1996. -- V.7, № 8 -- P. 1251-1259. 37. Sakhnovich A. Generalized B\"acklund-Darboux transformation: spectral properties and nonlinear equations // Journ. of Math. Anal. and Applic. -- 2001. -- V.262. -- P. 274-306. 38. Sakhnovich A.I. Matrix Kadomtsev-Petviashvili equation: matrix identities and explicit non-singular solutions // J. Phys. A.: Math. Gen. -- 2003. -- V.36, № 18. -- P. 5023-5034. 39. Сидоренко Ю.М. Матричне узагальнення ієрархії Кадомцева-Петвіашвілі і нелінійні інтегровні системи // Нелінійні коливання. -- 1999. -- Т.2, № 2. -- С. 30-39. 40. Кадомцев Б.Б., Петвиашвили В.И. Об устойчивости уединенных волн в слабо диспергирующих средах // Докл. АН СССР. -- 1970. -- Т.~192, № 4. -- С.~753-756. 41. Манаков С. В. Про интегрируемость уравнений Эйлера динамики n-мерного твердого тела // Функцион. анализ и его прил. -- 1976. -- Т.~10, № 4. -- С.~93-94. 42. Yajima N., Oikawa M. Formation and interaction of Sonic-Langmuir solitons: inverse scattering method // Progress Theoret. Phys. -- 1976. -- V.~56, № 6. -- P.~1719-1739. 43. Дринфельд В.Г., Соколов В.В. Алгебры Ли и уравнения типа Кортевега--де Фриза // Современные проблемы математики. (Итоги науки и техники) -- М.:~ВИНИТИ. -- 1984. -- т. 24, С.~81-180. 44. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальнным уравнениям. -- М.: Наука, 1976. -- 576~с. 45. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. -- 525 с. 46. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:ИЛ, 1958. -- 475 с. 47. Сидоренко Ю.М., Гвоздева Е.В. Бинарные преобразования общих уравнений Лакса-Захарова-Шабата // Нелинейные краев. задачи мат. физики и их прилож. -- Киев: Ин-т математики НАН Украины. -- 1999. -- C.~220-224. 48. Cидоренко Ю.М. Бінарні перетворення і (2+1)-вимірні інтегровні системи // Укр. мат. журн. -- 2002. -- Т.~54, № 11. -- С.~1531-1550. 49. Сидоренко Ю.М. Нелокальнi редукцiї в системах, iнтегровних методом оберненої задачi // Нелинейные краевые задачи мат.физики и их прилож. Киев: Ин--т математики НАН Украины. -- 1998. -- C.~199-202. 50. Сидоренко Ю.М. Про узагальнення $\tau$--функції для ієрархії Кадомцева-Петвіашвілі // Вісник Київського університету. Сер. математика і механіка. -- 1998. -- C.~40-49. 51. Сидоренко Ю.М. Метод iнтегрування рiвнянь Лакса з нелокальними редукцiями // Доповiдi НАН України. -- 1999. -- № 9. -- C.~33-36. 52. Berkela Yu.Yu., Sidorenko Yu.M. The exact solutions of some multicomponent integrable models // Математичні студії. -- 2002. -- Т. 17, № 1. -- С.~47--58. 53. Berkela Yu.Yu. Exact solutions of matrix generalization of some integrable systems // Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. -- 2002. -- V.~43, Part 1. -- P.~296-301. 54. Sydorenko Yu. Generalized Binary Darboux--like Theorem for Constrained Kadomtsev--Petviashvili (cKP) Flows // Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. -- 2004. -- V.~50, Part~1. -- P.~470-477. 55. Sidorenko Yu. Transformation operators for integrable hierarchies with additional reductions // Proceedings of Institute of Math. of NAS of Ukraine. -- 2002.-- V.~43, Part 1. -- P.~352-357. 56. Imai K. Dromion and lump solutions of the Ishimori-I equation // Progress of Theor. Physics. -- 1997. -- V.~98, № 5. -- P.~1013-1023. 57. Ishimori Y. Multi-vortex solutions of a two-dimentional nonlinear wave equation // Progr. Theor. Rhys.- 1983. -- V.72. № 1. -- С.~33-39. 58. Сидоренко Ю., Беркела Ю. Інтегрування нелінійних просторово-двовимірних рівнянь Гейзенберга // Математичні студії. -- 2002. -- Т.~18, № 1. -- С.~57-68. 59. Berkela Yu. Integration of Bi-hamiltonian Systems by Using the Dressing Method // Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. -- 2004. -- V.~50, Part 1. -- P.~319-324. 60. Беркела Ю., Сидоренко Ю. Векторно-матричні узагальнення бігамільтонових динамічних систем та їх інтегрування // Математичні студії. -- 2005. -- Т. 23, № 1. -- C. 31--51. 61. Konopelchenko B.G. Solitons in Multidimensions. Singapore: World Scientific, 1993.
Pages	38-64
Volume	25
Issue	1
Year	2006
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html