Some open problems on the classical function space $L_1$

Martínez-Abejón; E.Odell; M.M.Popov

The investigation of the geometry of $L_p(\mu)$-spaces has yielded a large quantity of interesting results on isomorphic, isometric and near isometric structure, the isomorphic classification of subspaces and complemented subspaces, geometric properties of operators, bases and unconditional structures and much more. $L_1(\mu)$ spaces offer many differences from $L_p(\mu), \,\,\, p > 1$. Their study has led, for example, to the notion of stable Banach spaces. In this survey we present a number of open problems in $L_1$ which we believe merit further study, and whose solutions should lead to important further developments.

1. Aldous D.~J. Subspaces of $L^1$ via random measures // Trans. Amer. Math. Soc. -- 1981. -- 267, № 2. -- P.~445-463.

2. Alvarez T., González M. Some examples of Tauberian operators // Proc. Amer. Math. Soc. -- 1991. -- 111. -- P.~1023--1027.

3. Alspach D., Enflo P., Odell E. On the structure of separable ${\cal L}_p$ spaces $(1
4. Alspach D.~E., Johnson W.~B. Projections onto $L_1$ subspaces of $L_1(\mu)$ // Lect. Notes. Math. -- 1983. -- 995. -- P.~1-7.

5. Ando T. Contractive projections in $L_p$ spaces // Pacif. J. Math. -- 1966. -- 17, № 3. -- P.~391-405.

6. Банах С.~С. Курс функціонального аналізу. -- 1948. -- Радянська школа. -- Київ. 216~с.

7. Borzyszkowski A. Unconditional decompositions and local unconditional structure in some subspaces of $L_p, \, 1 p < 2$ // Stud. Math. -- 1983. -- 76, № 3. -- P.~267-278.

8. Bourgain J. Dunford-Pettis operators on $L^1$ and the Radon-Nikodym property // Isr. J. Math. -- 1980. -- 37, № 1-2. -- P.~34-47.

9. Bourgain J. A characterization of non-Dunford-Pettis operators on $L^1$ // Isr. J. Math. -- 1980. -- 37, № 1-2. -- P.~48-53.

10. Bourgain J. A counterexample to a complementation problem // Compos. Math. -- 1981. -- 43, № 1. -- P.~133-144.

11. Bourgain J. New classes of $ L_p$-spaces // Lect. Notes Math. -- 1981. -- 889. -- P.~1-143.

12. Bourgain J., Rosenthal H.~P. Martingales valued in certain subspaces of $L^1$ // Isr. J. Math. -- 1980. -- 37, № 1-2. -- P.~54--75.

13. Bourgain J., Rosenthal H.~P. Geometrical implications of certain finite dimensional decompositions // Soc. math. Belg. -- 1980. -- 32, № 1. -- P.~57-82.

14. Bourgain J., Rosenthal H.~P. Applications of the theory of semi--embeddings to Banach space theory // J. Funct. Anal. -- 1983. -- 52, № 2. -- P.~149--188.

15. Bourgain J., Rosenthal H.~P., Schechtman G. An ordinal $L^p$-index for Banach spaces, with applications to complemented subspaces of $L^p$ // Ann. Math. -- 1981. -- 114, № 2. -- P.~193-228.

16. Bretagnolle J., Dacunha--Castelle D., Krivine J.~L. Lois stables et espaces $L_p$ // Ann. Inst. H. Poincar\'e, S\'er. B: Probab., Statist. -- 1966. -- 2. -- P.~231--259.

17. Castillo J.~M.~F., González M. Three--space problems in Banach Space Theory. -- Lect. Notes in Math. -- Vol.1667. -- Berlin etc.: Springer--Verlag, 1997. -- XII, 267 p.

18. Caselles V. Dunford-Pettis operators and the Radon-Nikodym property // Arch. Math. -- 1988. -- 50, № 2. -- P.~183-188.

19. Cross R.~W., Ostrovskii M.~I., Shevchik V.~V. Operator ranges in Banach spaces, I // Math. Nachr., -- 1995. -- 173. -- P.~ 91--114.

20. Davis W.~J., Figiel T., Johnson W.~B., Pe czy\'nsky A. Factoring weakly compact operators // J. Funct. Anal. -- 1974. -- 17. -- P.~311--327.

21. Даугавет И.~К. Об одном свойстве вполне непрерывных операторов в пространстве $C$ // Успехи мат. наук. - 1963. - 18, № 5. - С.~157-158.

22. Delbaen F. Semi imbeddings and Radon-Nikodym spaces // Bull. Soc. math. Belg. -- 1984. -- 36, № 1. -- P.~5-10.

23. Дистель Д. Геометрия банаховых пространств. -- Вища школа. -- Киев. -- 1980. -- 215 с.

24. Diestel J., Jarchow H., Tonge A. Absolutely summing operators. -- Cambridge Univ. Press. -- New York. -- 1995. -- XV, 474 p.

25. Diestel J., Uhl J.~J. Vector measures. -- Math. Surveys, № 15. -- Providence, RI: Amer. Math. Soc. -- 1977. -- XIII, 322 p.

26. Dor L.~E. On projections in $L_1$ // Ann. Math. -- 1965. -- 102, № 3. -- P.~463-474.

27. Dor L.~E., Starbird T. Projections of $L_p$ onto subspaces spanned by independent random variables // Compos. math. -- 1979. -- 39, № 2. -- P.~141-175.

28. Douglas R.~G. Contractive projections on an ${\cal L}_1$ space // Pacif. J. Math. -- 1965. -- 15, № 2. -- P.~443-462.

29. Edelstein M., Thompson A.~C. Some results on nearest points and support properties of convex sets in $c_0$ // Pacif. J. Math. -- 1972. -- 40, № 4. -- P.~553-560.

30. Enflo P. Contractive projections onto subsets of $L^1(0,1)$ // London Math. Soc. Lect. Notes Ser. -- 1989. -- 137. -- P.~162-184.

31. Enflo P., Starbird T.~W. Subspaces of $L^1$ containing $L^1$ // Stud. Math. -- 1979. -- 65. -- P.~203--225.

32. Фонф В.~П. О строго анти-проксиминальных множествах в банаховых пространствах // Мат. заметки. -- 1990. -- 47, № 2. -- С.~130-136.

33. Gelfand I.~M. Abstrakte Functionen und lineare Operatoren // Recueil Math. -- 1938. -- 46, № 4. -- P.~235-286.

34. Ghoussoub N., Godefroy G., Maurey B., Schachermayer W. Some topological and geometrical structures in Banach spaces -- Providence, R.I.: Mem. Amer. Math. Soc., 1987. -- 116 p.

35. Ghoussoub N., Rosenthal H.~P. Martingales, $G_{\delta}$--embeddings and quotients of $L^1$ // Math. Anal. -- 1983. -- 264, № 3. -- P.~321--332.

36. González M., Martínez-Abejón A. Super-Tauberian operators and perturbations // Arch. Math. -- 1995. -- 64, № 5. -- P.~423--433.

37. González M., Martínez-Abejón A. Quotients of $L_1$ by reflexive subspaces // Extracta Math. -- 1997. -- 12, № 2. -- P.139-143.

38. González M., Martínez-Abejón A. Tauberian operators on $L_1(\mu)$ spaces // Stud. Math. -- 1997. -- 125. -- P.~289-303.

39. González M., Martínez-Abejón A. Tauberian operators // In preparation.

40. Grothendieck A. Sur les applications lin\'eaires faiblement compactes d'espaces du type $C(K)$ // Canad. J. Math. -- 1953. -- 5. -- P.~129--173.

41. Grothendieck A. Sur certains sous espaces vectories de espace $L$ // Canad. J. Math. -- 1954. -- 6, № 1. -- P.~158-160.

42. Grothendieck A. Une caract\'erisation vectorielle m\'etrique des espaces $L^1$ // Canad. J. Math. -- 1955. -- 7. -- P.~552-561.

43. Guerre S., Levy M. Espaces $\ell_p$ dans les sous-espaces de $L_1$ // Trans. Amer. Math. Sci. -- 1983. -- 279, № 2. -- P.~611-616.

44. Holub J.~R. Bounded completeness and Schauder's basis for $C[0,1]$ // Glasgow Math. J. -- 1986. -- 28, № 1. -- P.~15--19.

45. Holub J.~R. A note on Dunford-Pettis operators // Glasgow Math. J. -- 1987. -- 29. -- P.~271-273.

46. Holub J.~R. The regularity of Dunford-Pettis operators // Proc. Amer. Math. Soc. -- 1988. -- 104, № 1. -- P.~89-95.

47. James R.~C. Uniformly non-square Banach spaces // Ann. Math. -- 1964. -- 80. -- P.~542-550.

48. Jarchow H. Remarks on compactness of operators defined on $L_p$ // Note di Mat. -- 1991. -- 11. -- P.~225-229.

49. Johnson W.~B., Lindenstrauss J. Examples of ${\cal L}_1$-spaces // Ark. mat. -- 1980. -- 18, № 1. -- P.~101-106.

50. Johnson W.~B., Lindenstrauss J. Basic concepts in the geometry of Banach spaces // Handbook of the geometry of Banach spaces. Vol.I. W.~B.~Johnson and J.~Lindenstrauss eds. -- Amsterdam: Elsevier. -- 2001. -- P.~1--84.

51. Johnson W.~B., Maurey B., Schechtman G. Weakly null sequences in $L_1$ // Preprint. (2004), P.~1-13.

52. Johnson W.~B., Odell E. Subspaces of $L_p$ which embed into $\ell_p$ // Compos. Math. -- 1974. -- 28, № 1. -- P.~37-49.

53. Johnson W.~B., Rosenthal H.~P., Zippin M. On bases, finite dimensional decompositions and weaker structures in Banach spaces // Isr. J. Math. -- 1971. -- 9, № 4. -- P.~488-506.

54. Кадец М.~И. О линейной размерности пространств $L_p$ и $\ell_q$ // Успехи мат. наук. -- 1958. -- 13, № 6. -- С.~95--98.

55. Kadec M.~I., Pe czy\'nski A. Bases, lacunary sequences and complemented subspaces in the spaces $L_p$ // Stud. Math. -- 1962. -- 21, № 2. -- P.~161-176.

56. Kadets V. The Haar system in $L_1$ is monotone boundedly complete // Математическая Физика, Анализ, Геометрия. - 2005. - 12, № 1. - P.~103--106.

57. Kadets V.~M., Kalton N.~J., Werner D. Unconditionally convergent series of operators and narrow operators on $L_1$ // Bull. London Math. Soc. -- 2005. -- 37, № 2. -- P.~265--274.

58. Kadets V.~M., Popov M.~M. On the Liapunov convexity theorem with applications to sign--embeddings // Укр. мат. ж. -- 1992. -- 44, № 9. -- С.~1192--1200.

59. Kadets V.~M., Popov M.~M. Some stability theorems on narrow operators acting in $L_1$ and $C(K)$ // Математическая Физика, Анализ, Геометрия. -- 2003. -- 10, № 1. -- С.~49--60.

60. Kadets V.~M., Shvidkoy R.~V. The Daugavet property for pairs of Banach spaces // Математическая Физика, Анализ, Геометрия. -- 1999. -- 6, № 3/4. -- С.~253--263.

61. Kadets V.~M., Shvidkoy R.~V., Sirotkin G.~G., Werner D. Banach spaces with the Daugavet property // Trans. Amer. Math. Soc. -- 2000. -- 352, № 2. -- P.~855--873.

62. Kadets V.~M., Shvidkoy R.~V., Werner D. Narrow operators and rich subspaces of Banach spaces with the Daugavet property // Stud. Math. -- 2001. -- 147, № 3. -- P.~269--298.

63. Kalton N.~J. The endomorphisms of $L_p \, (0 p 1)$ // Indiana Univ. Math. J. -- 1978. -- 27, № 3. -- P.~353-381.

64. Kalton N.~J. Banach spaces embedding into $L_0$ // Isr. J. Math. -- 1985. -- 52, № 4. -- P.~305-319.

65. Kalton N.~J., Koldobsky A. Banach spaces embedding isometrically into $L_p$ when $0 < p < 1$ // Proc. Amer. Math. Soc. -- 2004. -- 132. -- P.~67-76.

66. Kalton N.~J., Pe czy\'nski A. Kernels of surjections from ${\cal L}_1$-spaces with an application to Sidon sets // Math. Ann. -- 1997. -- 309. -- P.~135-158.

67. Kalton N., Wilansky A. Tauberian operators on Banach spaces // Proc. Amer. Math. Soc. -- 1976. -- 57. -- P.~251--255.

68. Ketonen T. On unconditionality in $L_p$ spaces // Ann. Acad. Sci. fenn. Ser. A. Diss. -- 1981. -- 35. -- P.~1-42.

69. Koldobsky A. Generalized Levy representation of norms and isometric embeddings into $L_p$-spaces // Ann. Inst. H.~Poincar\'e. -- 1992. -- 28, № 3. -- P.~335-353.

70. Крейн М.~Г. $L$-проблема моментов в абстрактном линейном анализе // В кн.: О некоторых вопросах теории моментов. -- Харьков. -- 1938.

71. Krivine J.~L., Maurey B. Espaces de Banach stables // Isr. J. Math. -- 1981. -- 39, № 4. -- P.~273-295.

72. Kwapie\'n S., Szarek S.~J. An estimation of the Lebesgue functions of biorthogonal systems with an application to the nonexistence of some bases in $C$ and $L^1$ // Stud. Math., 1979. -- 66, № 2. -- P.~185--200.

73. Levy P. Th\'eorie de l'addition de variable aleatior\'es, Cauthier--Villars, Paris. -- 1937. -- 234 p.

74. Lewis D.~R. A vector measure with no derivative // Proc. Amer. Math. Soc. -- 1972. -- 32. -- P.~195-198.

75. Lewis D.~R., Stegall C. Banach spaces whose duals are isomorphic to $\ell_1(\Gamma)$ // J. Funct. Anal. -- 1973. -- 12. -- P.~177-187.

76. Li D., Queff\'elec H. Introduction \`a l'\'etude des espaces de Banach. -- Paris.: Soci\'et\'e Math\'ematique de France, 2004. - 614 p.

77. Lindenstrauss J., Pe czy\'nski A. Absolutelly summing operators in $L_p$--spaces and their applications // Stud. Math. -- 1968. -- 29, № 3. -- P.~275-326.

78. Lindenstrauss J., Pe czy\'nski A. Contributions to the theory of classical Banach spaces // J. Funct. Anal. -- 1971. -- 8, № 2. -- P.~225-249.

79. Lindenstrauss J., Rosenthal H.~P. The ${\cal L}_p$ spaces // Isr. J. Math. -- 1969. -- 7, № 4. -- P.~325-349.

80. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces. I. -- Berlin--Heidelberg--New York: Springer--Verlag, 1977. -- XIII, 188 p.

81. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces. II. -- Berlin--Heidelberg--New York: Springer--Verlag, 1979. -- X, 243 p.

82. Liu Z. A decomposition theorem for operators on $L^1$ // J. Oper. Theory. -- 1998. -- 40, № 1. -- P.~3--34.

83. Lotz H.~P., Peck N.~T., Porta H. Semi-embedding of Banach spaces // Proc. Edinburgh Math. Soc. -- 1979. -- 22. -- P.~233--240.

84. Лозановский Г.~Я. О почти интегральных операторах в KB-пространствах // Вестник Ленингр. ун-та. Мат., мех., астрон. -- 1966. -- 21, № 7. -- С.~35--44.

85. Martínez-Abejón A., Pello J. Finite representability of operators // J. Math. Anal. Appl. -- 2003. -- 278. -- P.~527--541.

86. Маслюченко О.~В., Михайлюк В.~В., Попов М.~М. Теореми про розклад операторів в $L_1$ та їх узагальнення на векторні гратки // Укр. мат. ж. -- 2005. -- (to appear).

87. Maurey B., Rosenthal H.~P. Normalized weakly null sequences with no unconditional subsequence // Stud. Math. -- 1977. -- 61, № 3. -- P.~77--98.

88. Maurey B., Schechtman G. Some remarks on symmetric basic sequences in $L_1$ // Compos. Math. -- 1979. -- 38, № 1. -- P.~67--76.

89. Morgenthaler G. Walsh-Fouries series // Trans. Amer. Math. Soc. -- 1957. -- 84, № 2. -- P.~472--507.

90. Mykhaylyuk V.~V., Popov M.~M. <> embeddings of $L_1$ // Houston J. Math. -- 2006. -- (to appear).

91. Никишин Е.~М. Резонансные теоремы и сублинейные операторы // Успехи мат. наук. -- 1970. -- 25, № 6. -- P.~129--191.

92. Олевский А.~М. Ряды Фурье непрерывных функций по ограниченным ортонормальным системам // Изв. АН СССР, Сер. мат. -- 1966. -- 30. -- С.~387--432.

93. Олевский А.~М. Об одной ортогональной системе и ее приложениях // Мат. Сборник. -- 1966. -- 71, № 3. -- С.~297--336.

94. Олевский А.~М. Ряды Фурье и функции Лебега // Успехи мат. наук. -- 1967. -- 22, № 2. -- С.~185--200.

95. Paley R.~E.~A.~C. Some theorems on abstract spaces // Bull. Amer. Math. Soc. -- 1936. -- 42. -- P.~602--628.

96. Pe czy\'nski A. Projections in certain Banach spaces // Stud. Math. -- 1960. -- 19, № 2. -- P.~209--228.

97. Pe czy\'nski A. On the impossibility of embedding of the space $L$ in certain Banach spaces // Colloq. Math. -- 1961. -- 8. -- P.~199--203.

98. Пличко А.~Н., Токарев Е.~В. О базисах в симметричных пространствах функций // Мат. заметки. -- 1987. -- 42, № 2. -- С.~227--234.

99. Pisier G. Factorization of Linear Operators and Geometry of Banach Spaces. -- Amer. Math. Soc. (Reg. Conf. Ser. Math.). -- Providence, R.I. -- 1986.

100. Plichko A.~M., Popov M.~M. Symmetric function spaces on atomless probability spaces // Dissertationes Math. -- 1990. -- 306. -- P.~1--85.

101. Попов М.~М. Элементарное доказательство отсутствия ненулевых компактных операторов, заданных на пространстве $L_p, \,\,\, 0 < p < 1$ // Мат. заметки. -- 1990. -- 47, № 5. -- С.~154--155.

102. Popov M.~M. A hereditarily $\ell_1$ subspace of $L_1$ without the Schur property // Proc. Amer. Math. Soc. -- 2005. -- 133, № 7. -- P.~2023--2028.

103. Randrianantoanina B. On isometric stability of complemented subspaces of $L_p$ // Isr. J. Math. -- 1999. -- 113. -- P.~45--60.

104. Raynaud Y., Sch\"utt C. Some results on symmetric subspaces of $L_1$ // Stud. Math. -- 1988. -- 89, № 1. -- P.~27--35.

105. Rosenthal H.~P. On subspaces of $L^p$ // Ann. Math. -- 1973. -- 97, № 2. -- P.~344--373.

106. Rosenthal H.~P. A characterization of Banach spaces containing $\ell^1$ // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. -- 1974. -- 71. -- P.~2411--2413.

107. Rosenthal H.~P. Convolution by a biased coin // Altgeld Book (Univ. of Illinois). -- 1976. -- II, 1975/76.

108. Rosenthal H.~P. Geometric aspects related to the Radon-Nikodym property // Semin. d'Initiation a l'Analyse (Univ. of Paris VI). -- 1980. -- (1979/80).

109. Rosenthal H.~P. Some remarks concerning sign-embeddings // Semin. D'analyse Fonct. Univ. of Paris VII. -- 1982. -- (1981/82).

110. Rosenthal H.~P. Sign-embeddings of $L^1$ // Lect. Notes Math. -- 1983. -- 995. -- P.~155--165.

111. Rosenthal H.~P. Embeddings of $L^1$ in $L^1$ // Contemp. Math. -- 1984. -- 26. -- P.~335--349.

112. Рудин У. Функциональный анализ. -- Москва: Мир, 1975. -- 443 с.

113. Schaefer H.~H. Banach Lattices and Positive Operators. -- Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1974. -- 376 p.

114. Schechtman G. On Pe czy\'nski's paper <> // Isr. J. Math. -- 1975. -- 22, № 3-4. -- P.~181--184.

115. Shvydkoy R.~V. Operators and integrals in Banach spaces. -- Dissertation, Univ. of Missouri-Columbia. -- 2001.

116. Szarek S.~J. Bases and biorthogonal systems in the spaces $C$ and $L^1$ // Ark. mat. -- 1979. -- 17, № 2. -- P.~255--271.

117. Tacon D.~G. Generalized semi-Fredholm transformations // J. Austral. Math. Soc. -- 1983. -- 34. -- P.~60--70.

118. Talagrand M. The three space problem for $L^1$ // J. Amer. Math. Soc. -- 1990. -- 3, № 1. -- P.~9--29.

119. Unsolved problems // Stud. Math. -- 1970. -- 38, № 1-5. -- P.~469--483.

120. Weis L., Wolff M. On the essential spectrum of operators on $L^1$ // Semesterberich Funkt. T\"ubingen. -- 1984. -- 103--112.

121. Yang K.~W. The generalized Fredholm operators // Trans. Amer. Math. Soc. -- 1976. -- 216. -- P.~313--326.

122. Yost D. $L_1$ contains every two-dimensional normed space // Ann. polon. Math. -- 1988. -- 49, № 1. -- P.~17--19.

	Some open problems on the classical function space $L_1$
Author	Martínez‑Abejón, E.Odell, M.M.Popov popov@chv.ukrpack.net Departamento de Matemáticas,Facultad de Ciencias, Department of Mathematics,The University of Texas at Austin, Department of Mathematics, Chernivtsi National University,
Abstract	The investigation of the geometry of $L_p(\mu)$-spaces has yielded a large quantity of interesting results on isomorphic, isometric and near isometric structure, the isomorphic classification of subspaces and complemented subspaces, geometric properties of operators, bases and unconditional structures and much more. $L_1(\mu)$ spaces offer many differences from $L_p(\mu), \,\,\, p > 1$. Their study has led, for example, to the notion of stable Banach spaces. In this survey we present a number of open problems in $L_1$ which we believe merit further study, and whose solutions should lead to important further developments.
Keywords	$L_1$ space, stable Banach space, isomorphic structure
DOI	doi:10.30970/ms.24.2.173-191
Reference	1. Aldous D.~J. Subspaces of $L^1$ via random measures // Trans. Amer. Math. Soc. -- 1981. -- 267, № 2. -- P.~445-463. 2. Alvarez T., González M. Some examples of Tauberian operators // Proc. Amer. Math. Soc. -- 1991. -- 111. -- P.~1023--1027. 3. Alspach D., Enflo P., Odell E. On the structure of separable ${\cal L}_p$ spaces $(1 4. Alspach D.~E., Johnson W.~B. Projections onto $L_1$ subspaces of $L_1(\mu)$ // Lect. Notes. Math. -- 1983. -- 995. -- P.~1-7. 5. Ando T. Contractive projections in $L_p$ spaces // Pacif. J. Math. -- 1966. -- 17, № 3. -- P.~391-405. 6. Банах С.~С. Курс функціонального аналізу. -- 1948. -- Радянська школа. -- Київ. 216~с. 7. Borzyszkowski A. Unconditional decompositions and local unconditional structure in some subspaces of $L_p, \, 1 p < 2$ // Stud. Math. -- 1983. -- 76, № 3. -- P.~267-278. 8. Bourgain J. Dunford-Pettis operators on $L^1$ and the Radon-Nikodym property // Isr. J. Math. -- 1980. -- 37, № 1-2. -- P.~34-47. 9. Bourgain J. A characterization of non-Dunford-Pettis operators on $L^1$ // Isr. J. Math. -- 1980. -- 37, № 1-2. -- P.~48-53. 10. Bourgain J. A counterexample to a complementation problem // Compos. Math. -- 1981. -- 43, № 1. -- P.~133-144. 11. Bourgain J. New classes of $ L_p$-spaces // Lect. Notes Math. -- 1981. -- 889. -- P.~1-143. 12. Bourgain J., Rosenthal H.~P. Martingales valued in certain subspaces of $L^1$ // Isr. J. Math. -- 1980. -- 37, № 1-2. -- P.~54--75. 13. Bourgain J., Rosenthal H.~P. Geometrical implications of certain finite dimensional decompositions // Soc. math. Belg. -- 1980. -- 32, № 1. -- P.~57-82. 14. Bourgain J., Rosenthal H.~P. Applications of the theory of semi--embeddings to Banach space theory // J. Funct. Anal. -- 1983. -- 52, № 2. -- P.~149--188. 15. Bourgain J., Rosenthal H.~P., Schechtman G. An ordinal $L^p$-index for Banach spaces, with applications to complemented subspaces of $L^p$ // Ann. Math. -- 1981. -- 114, № 2. -- P.~193-228. 16. Bretagnolle J., Dacunha--Castelle D., Krivine J.~L. Lois stables et espaces $L_p$ // Ann. Inst. H. Poincar\'e, S\'er. B: Probab., Statist. -- 1966. -- 2. -- P.~231--259. 17. Castillo J.~M.~F., González M. Three--space problems in Banach Space Theory. -- Lect. Notes in Math. -- Vol.1667. -- Berlin etc.: Springer--Verlag, 1997. -- XII, 267 p. 18. Caselles V. Dunford-Pettis operators and the Radon-Nikodym property // Arch. Math. -- 1988. -- 50, № 2. -- P.~183-188. 19. Cross R.~W., Ostrovskii M.~I., Shevchik V.~V. Operator ranges in Banach spaces, I // Math. Nachr., -- 1995. -- 173. -- P.~ 91--114. 20. Davis W.~J., Figiel T., Johnson W.~B., Pe czy\'nsky A. Factoring weakly compact operators // J. Funct. Anal. -- 1974. -- 17. -- P.~311--327. 21. Даугавет И.~К. Об одном свойстве вполне непрерывных операторов в пространстве $C$ // Успехи мат. наук. - 1963. - 18, № 5. - С.~157-158. 22. Delbaen F. Semi imbeddings and Radon-Nikodym spaces // Bull. Soc. math. Belg. -- 1984. -- 36, № 1. -- P.~5-10. 23. Дистель Д. Геометрия банаховых пространств. -- Вища школа. -- Киев. -- 1980. -- 215 с. 24. Diestel J., Jarchow H., Tonge A. Absolutely summing operators. -- Cambridge Univ. Press. -- New York. -- 1995. -- XV, 474 p. 25. Diestel J., Uhl J.~J. Vector measures. -- Math. Surveys, № 15. -- Providence, RI: Amer. Math. Soc. -- 1977. -- XIII, 322 p. 26. Dor L.~E. On projections in $L_1$ // Ann. Math. -- 1965. -- 102, № 3. -- P.~463-474. 27. Dor L.~E., Starbird T. Projections of $L_p$ onto subspaces spanned by independent random variables // Compos. math. -- 1979. -- 39, № 2. -- P.~141-175. 28. Douglas R.~G. Contractive projections on an ${\cal L}_1$ space // Pacif. J. Math. -- 1965. -- 15, № 2. -- P.~443-462. 29. Edelstein M., Thompson A.~C. Some results on nearest points and support properties of convex sets in $c_0$ // Pacif. J. Math. -- 1972. -- 40, № 4. -- P.~553-560. 30. Enflo P. Contractive projections onto subsets of $L^1(0,1)$ // London Math. Soc. Lect. Notes Ser. -- 1989. -- 137. -- P.~162-184. 31. Enflo P., Starbird T.~W. Subspaces of $L^1$ containing $L^1$ // Stud. Math. -- 1979. -- 65. -- P.~203--225. 32. Фонф В.~П. О строго анти-проксиминальных множествах в банаховых пространствах // Мат. заметки. -- 1990. -- 47, № 2. -- С.~130-136. 33. Gelfand I.~M. Abstrakte Functionen und lineare Operatoren // Recueil Math. -- 1938. -- 46, № 4. -- P.~235-286. 34. Ghoussoub N., Godefroy G., Maurey B., Schachermayer W. Some topological and geometrical structures in Banach spaces -- Providence, R.I.: Mem. Amer. Math. Soc., 1987. -- 116 p. 35. Ghoussoub N., Rosenthal H.~P. Martingales, $G_{\delta}$--embeddings and quotients of $L^1$ // Math. Anal. -- 1983. -- 264, № 3. -- P.~321--332. 36. González M., Martínez-Abejón A. Super-Tauberian operators and perturbations // Arch. Math. -- 1995. -- 64, № 5. -- P.~423--433. 37. González M., Martínez-Abejón A. Quotients of $L_1$ by reflexive subspaces // Extracta Math. -- 1997. -- 12, № 2. -- P.139-143. 38. González M., Martínez-Abejón A. Tauberian operators on $L_1(\mu)$ spaces // Stud. Math. -- 1997. -- 125. -- P.~289-303. 39. González M., Martínez-Abejón A. Tauberian operators // In preparation. 40. Grothendieck A. Sur les applications lin\'eaires faiblement compactes d'espaces du type $C(K)$ // Canad. J. Math. -- 1953. -- 5. -- P.~129--173. 41. Grothendieck A. Sur certains sous espaces vectories de espace $L$ // Canad. J. Math. -- 1954. -- 6, № 1. -- P.~158-160. 42. Grothendieck A. Une caract\'erisation vectorielle m\'etrique des espaces $L^1$ // Canad. J. Math. -- 1955. -- 7. -- P.~552-561. 43. Guerre S., Levy M. Espaces $\ell_p$ dans les sous-espaces de $L_1$ // Trans. Amer. Math. Sci. -- 1983. -- 279, № 2. -- P.~611-616. 44. Holub J.~R. Bounded completeness and Schauder's basis for $C[0,1]$ // Glasgow Math. J. -- 1986. -- 28, № 1. -- P.~15--19. 45. Holub J.~R. A note on Dunford-Pettis operators // Glasgow Math. J. -- 1987. -- 29. -- P.~271-273. 46. Holub J.~R. The regularity of Dunford-Pettis operators // Proc. Amer. Math. Soc. -- 1988. -- 104, № 1. -- P.~89-95. 47. James R.~C. Uniformly non-square Banach spaces // Ann. Math. -- 1964. -- 80. -- P.~542-550. 48. Jarchow H. Remarks on compactness of operators defined on $L_p$ // Note di Mat. -- 1991. -- 11. -- P.~225-229. 49. Johnson W.~B., Lindenstrauss J. Examples of ${\cal L}_1$-spaces // Ark. mat. -- 1980. -- 18, № 1. -- P.~101-106. 50. Johnson W.~B., Lindenstrauss J. Basic concepts in the geometry of Banach spaces // Handbook of the geometry of Banach spaces. Vol.I. W.~B.~Johnson and J.~Lindenstrauss eds. -- Amsterdam: Elsevier. -- 2001. -- P.~1--84. 51. Johnson W.~B., Maurey B., Schechtman G. Weakly null sequences in $L_1$ // Preprint. (2004), P.~1-13. 52. Johnson W.~B., Odell E. Subspaces of $L_p$ which embed into $\ell_p$ // Compos. Math. -- 1974. -- 28, № 1. -- P.~37-49. 53. Johnson W.~B., Rosenthal H.~P., Zippin M. On bases, finite dimensional decompositions and weaker structures in Banach spaces // Isr. J. Math. -- 1971. -- 9, № 4. -- P.~488-506. 54. Кадец М.~И. О линейной размерности пространств $L_p$ и $\ell_q$ // Успехи мат. наук. -- 1958. -- 13, № 6. -- С.~95--98. 55. Kadec M.~I., Pe czy\'nski A. Bases, lacunary sequences and complemented subspaces in the spaces $L_p$ // Stud. Math. -- 1962. -- 21, № 2. -- P.~161-176. 56. Kadets V. The Haar system in $L_1$ is monotone boundedly complete // Математическая Физика, Анализ, Геометрия. - 2005. - 12, № 1. - P.~103--106. 57. Kadets V.~M., Kalton N.~J., Werner D. Unconditionally convergent series of operators and narrow operators on $L_1$ // Bull. London Math. Soc. -- 2005. -- 37, № 2. -- P.~265--274. 58. Kadets V.~M., Popov M.~M. On the Liapunov convexity theorem with applications to sign--embeddings // Укр. мат. ж. -- 1992. -- 44, № 9. -- С.~1192--1200. 59. Kadets V.~M., Popov M.~M. Some stability theorems on narrow operators acting in $L_1$ and $C(K)$ // Математическая Физика, Анализ, Геометрия. -- 2003. -- 10, № 1. -- С.~49--60. 60. Kadets V.~M., Shvidkoy R.~V. The Daugavet property for pairs of Banach spaces // Математическая Физика, Анализ, Геометрия. -- 1999. -- 6, № 3/4. -- С.~253--263. 61. Kadets V.~M., Shvidkoy R.~V., Sirotkin G.~G., Werner D. Banach spaces with the Daugavet property // Trans. Amer. Math. Soc. -- 2000. -- 352, № 2. -- P.~855--873. 62. Kadets V.~M., Shvidkoy R.~V., Werner D. Narrow operators and rich subspaces of Banach spaces with the Daugavet property // Stud. Math. -- 2001. -- 147, № 3. -- P.~269--298. 63. Kalton N.~J. The endomorphisms of $L_p \, (0 p 1)$ // Indiana Univ. Math. J. -- 1978. -- 27, № 3. -- P.~353-381. 64. Kalton N.~J. Banach spaces embedding into $L_0$ // Isr. J. Math. -- 1985. -- 52, № 4. -- P.~305-319. 65. Kalton N.~J., Koldobsky A. Banach spaces embedding isometrically into $L_p$ when $0 < p < 1$ // Proc. Amer. Math. Soc. -- 2004. -- 132. -- P.~67-76. 66. Kalton N.~J., Pe czy\'nski A. Kernels of surjections from ${\cal L}_1$-spaces with an application to Sidon sets // Math. Ann. -- 1997. -- 309. -- P.~135-158. 67. Kalton N., Wilansky A. Tauberian operators on Banach spaces // Proc. Amer. Math. Soc. -- 1976. -- 57. -- P.~251--255. 68. Ketonen T. On unconditionality in $L_p$ spaces // Ann. Acad. Sci. fenn. Ser. A. Diss. -- 1981. -- 35. -- P.~1-42. 69. Koldobsky A. Generalized Levy representation of norms and isometric embeddings into $L_p$-spaces // Ann. Inst. H.~Poincar\'e. -- 1992. -- 28, № 3. -- P.~335-353. 70. Крейн М.~Г. $L$-проблема моментов в абстрактном линейном анализе // В кн.: О некоторых вопросах теории моментов. -- Харьков. -- 1938. 71. Krivine J.~L., Maurey B. Espaces de Banach stables // Isr. J. Math. -- 1981. -- 39, № 4. -- P.~273-295. 72. Kwapie\'n S., Szarek S.~J. An estimation of the Lebesgue functions of biorthogonal systems with an application to the nonexistence of some bases in $C$ and $L^1$ // Stud. Math., 1979. -- 66, № 2. -- P.~185--200. 73. Levy P. Th\'eorie de l'addition de variable aleatior\'es, Cauthier--Villars, Paris. -- 1937. -- 234 p. 74. Lewis D.~R. A vector measure with no derivative // Proc. Amer. Math. Soc. -- 1972. -- 32. -- P.~195-198. 75. Lewis D.~R., Stegall C. Banach spaces whose duals are isomorphic to $\ell_1(\Gamma)$ // J. Funct. Anal. -- 1973. -- 12. -- P.~177-187. 76. Li D., Queff\'elec H. Introduction \`a l'\'etude des espaces de Banach. -- Paris.: Soci\'et\'e Math\'ematique de France, 2004. - 614 p. 77. Lindenstrauss J., Pe czy\'nski A. Absolutelly summing operators in $L_p$--spaces and their applications // Stud. Math. -- 1968. -- 29, № 3. -- P.~275-326. 78. Lindenstrauss J., Pe czy\'nski A. Contributions to the theory of classical Banach spaces // J. Funct. Anal. -- 1971. -- 8, № 2. -- P.~225-249. 79. Lindenstrauss J., Rosenthal H.~P. The ${\cal L}_p$ spaces // Isr. J. Math. -- 1969. -- 7, № 4. -- P.~325-349. 80. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces. I. -- Berlin--Heidelberg--New York: Springer--Verlag, 1977. -- XIII, 188 p. 81. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces. II. -- Berlin--Heidelberg--New York: Springer--Verlag, 1979. -- X, 243 p. 82. Liu Z. A decomposition theorem for operators on $L^1$ // J. Oper. Theory. -- 1998. -- 40, № 1. -- P.~3--34. 83. Lotz H.~P., Peck N.~T., Porta H. Semi-embedding of Banach spaces // Proc. Edinburgh Math. Soc. -- 1979. -- 22. -- P.~233--240. 84. Лозановский Г.~Я. О почти интегральных операторах в KB-пространствах // Вестник Ленингр. ун-та. Мат., мех., астрон. -- 1966. -- 21, № 7. -- С.~35--44. 85. Martínez-Abejón A., Pello J. Finite representability of operators // J. Math. Anal. Appl. -- 2003. -- 278. -- P.~527--541. 86. Маслюченко О.~В., Михайлюк В.~В., Попов М.~М. Теореми про розклад операторів в $L_1$ та їх узагальнення на векторні гратки // Укр. мат. ж. -- 2005. -- (to appear). 87. Maurey B., Rosenthal H.~P. Normalized weakly null sequences with no unconditional subsequence // Stud. Math. -- 1977. -- 61, № 3. -- P.~77--98. 88. Maurey B., Schechtman G. Some remarks on symmetric basic sequences in $L_1$ // Compos. Math. -- 1979. -- 38, № 1. -- P.~67--76. 89. Morgenthaler G. Walsh-Fouries series // Trans. Amer. Math. Soc. -- 1957. -- 84, № 2. -- P.~472--507. 90. Mykhaylyuk V.~V., Popov M.~M. <> embeddings of $L_1$ // Houston J. Math. -- 2006. -- (to appear). 91. Никишин Е.~М. Резонансные теоремы и сублинейные операторы // Успехи мат. наук. -- 1970. -- 25, № 6. -- P.~129--191. 92. Олевский А.~М. Ряды Фурье непрерывных функций по ограниченным ортонормальным системам // Изв. АН СССР, Сер. мат. -- 1966. -- 30. -- С.~387--432. 93. Олевский А.~М. Об одной ортогональной системе и ее приложениях // Мат. Сборник. -- 1966. -- 71, № 3. -- С.~297--336. 94. Олевский А.~М. Ряды Фурье и функции Лебега // Успехи мат. наук. -- 1967. -- 22, № 2. -- С.~185--200. 95. Paley R.~E.~A.~C. Some theorems on abstract spaces // Bull. Amer. Math. Soc. -- 1936. -- 42. -- P.~602--628. 96. Pe czy\'nski A. Projections in certain Banach spaces // Stud. Math. -- 1960. -- 19, № 2. -- P.~209--228. 97. Pe czy\'nski A. On the impossibility of embedding of the space $L$ in certain Banach spaces // Colloq. Math. -- 1961. -- 8. -- P.~199--203. 98. Пличко А.~Н., Токарев Е.~В. О базисах в симметричных пространствах функций // Мат. заметки. -- 1987. -- 42, № 2. -- С.~227--234. 99. Pisier G. Factorization of Linear Operators and Geometry of Banach Spaces. -- Amer. Math. Soc. (Reg. Conf. Ser. Math.). -- Providence, R.I. -- 1986. 100. Plichko A.~M., Popov M.~M. Symmetric function spaces on atomless probability spaces // Dissertationes Math. -- 1990. -- 306. -- P.~1--85. 101. Попов М.~М. Элементарное доказательство отсутствия ненулевых компактных операторов, заданных на пространстве $L_p, \,\,\, 0 < p < 1$ // Мат. заметки. -- 1990. -- 47, № 5. -- С.~154--155. 102. Popov M.~M. A hereditarily $\ell_1$ subspace of $L_1$ without the Schur property // Proc. Amer. Math. Soc. -- 2005. -- 133, № 7. -- P.~2023--2028. 103. Randrianantoanina B. On isometric stability of complemented subspaces of $L_p$ // Isr. J. Math. -- 1999. -- 113. -- P.~45--60. 104. Raynaud Y., Sch\"utt C. Some results on symmetric subspaces of $L_1$ // Stud. Math. -- 1988. -- 89, № 1. -- P.~27--35. 105. Rosenthal H.~P. On subspaces of $L^p$ // Ann. Math. -- 1973. -- 97, № 2. -- P.~344--373. 106. Rosenthal H.~P. A characterization of Banach spaces containing $\ell^1$ // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. -- 1974. -- 71. -- P.~2411--2413. 107. Rosenthal H.~P. Convolution by a biased coin // Altgeld Book (Univ. of Illinois). -- 1976. -- II, 1975/76. 108. Rosenthal H.~P. Geometric aspects related to the Radon-Nikodym property // Semin. d'Initiation a l'Analyse (Univ. of Paris VI). -- 1980. -- (1979/80). 109. Rosenthal H.~P. Some remarks concerning sign-embeddings // Semin. D'analyse Fonct. Univ. of Paris VII. -- 1982. -- (1981/82). 110. Rosenthal H.~P. Sign-embeddings of $L^1$ // Lect. Notes Math. -- 1983. -- 995. -- P.~155--165. 111. Rosenthal H.~P. Embeddings of $L^1$ in $L^1$ // Contemp. Math. -- 1984. -- 26. -- P.~335--349. 112. Рудин У. Функциональный анализ. -- Москва: Мир, 1975. -- 443 с. 113. Schaefer H.~H. Banach Lattices and Positive Operators. -- Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1974. -- 376 p. 114. Schechtman G. On Pe czy\'nski's paper <> // Isr. J. Math. -- 1975. -- 22, № 3-4. -- P.~181--184. 115. Shvydkoy R.~V. Operators and integrals in Banach spaces. -- Dissertation, Univ. of Missouri-Columbia. -- 2001. 116. Szarek S.~J. Bases and biorthogonal systems in the spaces $C$ and $L^1$ // Ark. mat. -- 1979. -- 17, № 2. -- P.~255--271. 117. Tacon D.~G. Generalized semi-Fredholm transformations // J. Austral. Math. Soc. -- 1983. -- 34. -- P.~60--70. 118. Talagrand M. The three space problem for $L^1$ // J. Amer. Math. Soc. -- 1990. -- 3, № 1. -- P.~9--29. 119. Unsolved problems // Stud. Math. -- 1970. -- 38, № 1-5. -- P.~469--483. 120. Weis L., Wolff M. On the essential spectrum of operators on $L^1$ // Semesterberich Funkt. T\"ubingen. -- 1984. -- 103--112. 121. Yang K.~W. The generalized Fredholm operators // Trans. Amer. Math. Soc. -- 1976. -- 216. -- P.~313--326. 122. Yost D. $L_1$ contains every two-dimensional normed space // Ann. polon. Math. -- 1988. -- 49, № 1. -- P.~17--19.
Pages	173-191
Volume	24
Issue	2
Year	2005
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html