Subharmonic functions of finite $(\lambda,\varepsilon)$-type (in Ukrainian)

Yu.S.Protsyk

The method of spherical harmonics (method of Fourier-Laplace series) for subharmonic functions of finite $\lambda$-type was introduced and studied by A.~A.~Kondratyuk. We extend it to the classes $\Lambda_S^m(\mathcal{E})$ of subharmonic in $\mathbb R^m\ (m\ge2)$ functions of finite $(\lambda,\varepsilon)$-type in the sense of B.~N.~Khabibullin. In particular, criteria of the belonging of subharmonic functions to the classes $\Lambda_S^m(\mathcal{E})$ in terms of its spherical harmonics are established. The Riesz measures of such functions are described and it is shown that an arbitrary Borel in $\mathbb R^m$ measure is the Riesz measure of some subharmonic function from the certain class $\Lambda_S^m(\mathcal{E})$.

1. Rubel L. A. A Fourier series method for entire functions // Duke. Math. J.-- 1963.-- V. 30.-- P. 437--442.

2. Rubel L. A. Une m\'ethode de s\'eries de Fourier pour les fonctions m\'eromorphes // S\'eminaire P. Lelong, 6\`eme ann\'ee.-- 1965/66.-- Expos\'e n.1.

3. Rubel L. A. Croissance et z\'eros des Fonctions M\'eromorphes. Espace Duals de Fonctions Enti\`eres // Publ. S\'em. Math. d'Orsay.-- 1965/66.-- P. 77.

4. Rubel L. A., Taylor B. A. A Fourier series method for meromorphic and entire functions // Bull. Amer. Math. Soc.-- 1966.-- V. 73, № 5.-- P. 857--860.

5. Rubel L. A., Taylor B. A. A Fourier series method for meromorphic and entire functions // Bull. Soc. Math. France.-- 1968.-- V. 96.-- P. 53--96.

6. Rubel L. A. Entire and Meromorphic Functions.-- Springer-Verlag: New York-Berlin-Heidelberg, 1996.-- 187 p.

7. Кондратюк~А.~А. Ряды Фурье и мероморфные функции.-- Львов: Выща школа, 1988.-- 195 с.

8. Noverraz P. Extension d'une m\'ethode de s\'eries de Fourier aux fonctions sousharmoniques et plurisousharmoniques // S\'eminaire P. Lelong, 6\`eme ann\'ee.-- 1965/66.-- Expos\'e n.3 (Mars 1965) et C. R. Acad. Scien. Paris.-- 1967.-- V. 264.-- P. 675--678.

9. Noverraz P. Fonctions plurisousharmoniques et analytiques dans les espaces vectoriels topologiques complexes // Ann. Inst. Fourier.-- 1969.-- V. 19, № 2.-- P. 419--493.

10. Кондратюк~А.~А. О методе сферических гармоник для субгармонических функций // Матем. сб.-- 1981.-- Т. 116, № 2.-- С. 147--165.

11. Кондратюк~А.~А. Сферические гармоники и субгармонические функции // Докл. АН СССР.-- 1983.-- Т. 268, № 3.-- С. 541--544.

12. Кондратюк~А.~А. Сферические гармоники и субгармонические функции // Матем. сб.-- 1984.-- Т.~125, № 2.-- С. 147--166.

13. Rubel L. A. A survey of a Fourier series method for meromorphic functions // Lect. Not. in Math.-- 1973.-- V. 336.-- P. 51--62.

14. Василькив~Я.~В. Исследование асиптотических свойств целых и субгармонических функций методом рядов Фурье. -- Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Донецк, 1986.-- 17 с.

15. Хабибуллин Б. Н. Рост целых функций с заданными нулями и представления мероморфных функций // Матем. Заметки.-- 2003.-- Т. 73, № 1.-- С. 120--134.

16. Arsove M. G. Function representable as differences of subharmonic functions // Trans. Amer. Math. Soc.-- 1953.-- V. 75.-- P. 327--365.

17. Ронкин Л. И. Введение в теорию функций многих переменных.-- М.: Наука, 1971.-- 430 с.

18. Процик Ю. С. Мажоранти зростання і канонічне зображення $\delta$-субгармонійних функцій // Математичні Студії.-- 2003.-- Т. 20, № 1.-- С. 40--52.

19. Miles J. B. Quotient representations of meromorphic functions // J. d'Analyse Math.-- 1972.-- V. 336.-- P. 371--388.

20. Taylor B. A. The filds of quotient of some rings of entire functions // Proc. Symp. Pure. Math. Amer. Math. Soc. Providence, R. I.-- 1968.-- V. 11.-- P. 468--474.

21. Khabibullin B. N. The representation of meromorphic function as the quotient of entire functions and Paley problem in $\mathbb C^n$: survey of some results // MAG.-- 2002.-- V. 9, № 2.-- P. 146--167.

22. Веселовська О. В. Аналог теоремы Майлза для $\delta$-субгармонических в $\mathbb R^n$ функций // Укр. мат.~ж.-- 1984.-- Т. 36, № 6.-- С. 694--698.

23. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. -- М.: Мир, 1980.-- 304 с.

24. Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп. -- М.: Наука, 1965.-- 588 с.

25. Шварц Л. Анализ. Т. 1.-- М.: Мир, 1972.\ -- 824 с.

	Subharmonic functions of finite $(\lambda,\varepsilon)$-type (in Ukrainian)
Author	Yu.S.Protsyk protsyk@ukr.net Ivan Franko National University of Lviv
Abstract	The method of spherical harmonics (method of Fourier-Laplace series) for subharmonic functions of finite $\lambda$-type was introduced and studied by A.~A.~Kondratyuk. We extend it to the classes $\Lambda_S^m(\mathcal{E})$ of subharmonic in $\mathbb R^m\ (m\ge2)$ functions of finite $(\lambda,\varepsilon)$-type in the sense of B.~N.~Khabibullin. In particular, criteria of the belonging of subharmonic functions to the classes $\Lambda_S^m(\mathcal{E})$ in terms of its spherical harmonics are established. The Riesz measures of such functions are described and it is shown that an arbitrary Borel in $\mathbb R^m$ measure is the Riesz measure of some subharmonic function from the certain class $\Lambda_S^m(\mathcal{E})$.
Keywords	subharmonic function, sphetical harmonic, Riesz measure
DOI	doi:10.30970/ms.24.1.39-56
Reference	1. Rubel L. A. A Fourier series method for entire functions // Duke. Math. J.-- 1963.-- V. 30.-- P. 437--442. 2. Rubel L. A. Une m\'ethode de s\'eries de Fourier pour les fonctions m\'eromorphes // S\'eminaire P. Lelong, 6\`eme ann\'ee.-- 1965/66.-- Expos\'e n.1. 3. Rubel L. A. Croissance et z\'eros des Fonctions M\'eromorphes. Espace Duals de Fonctions Enti\`eres // Publ. S\'em. Math. d'Orsay.-- 1965/66.-- P. 77. 4. Rubel L. A., Taylor B. A. A Fourier series method for meromorphic and entire functions // Bull. Amer. Math. Soc.-- 1966.-- V. 73, № 5.-- P. 857--860. 5. Rubel L. A., Taylor B. A. A Fourier series method for meromorphic and entire functions // Bull. Soc. Math. France.-- 1968.-- V. 96.-- P. 53--96. 6. Rubel L. A. Entire and Meromorphic Functions.-- Springer-Verlag: New York-Berlin-Heidelberg, 1996.-- 187 p. 7. Кондратюк~А.~А. Ряды Фурье и мероморфные функции.-- Львов: Выща школа, 1988.-- 195 с. 8. Noverraz P. Extension d'une m\'ethode de s\'eries de Fourier aux fonctions sousharmoniques et plurisousharmoniques // S\'eminaire P. Lelong, 6\`eme ann\'ee.-- 1965/66.-- Expos\'e n.3 (Mars 1965) et C. R. Acad. Scien. Paris.-- 1967.-- V. 264.-- P. 675--678. 9. Noverraz P. Fonctions plurisousharmoniques et analytiques dans les espaces vectoriels topologiques complexes // Ann. Inst. Fourier.-- 1969.-- V. 19, № 2.-- P. 419--493. 10. Кондратюк~А.~А. О методе сферических гармоник для субгармонических функций // Матем. сб.-- 1981.-- Т. 116, № 2.-- С. 147--165. 11. Кондратюк~А.~А. Сферические гармоники и субгармонические функции // Докл. АН СССР.-- 1983.-- Т. 268, № 3.-- С. 541--544. 12. Кондратюк~А.~А. Сферические гармоники и субгармонические функции // Матем. сб.-- 1984.-- Т.~125, № 2.-- С. 147--166. 13. Rubel L. A. A survey of a Fourier series method for meromorphic functions // Lect. Not. in Math.-- 1973.-- V. 336.-- P. 51--62. 14. Василькив~Я.~В. Исследование асиптотических свойств целых и субгармонических функций методом рядов Фурье. -- Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Донецк, 1986.-- 17 с. 15. Хабибуллин Б. Н. Рост целых функций с заданными нулями и представления мероморфных функций // Матем. Заметки.-- 2003.-- Т. 73, № 1.-- С. 120--134. 16. Arsove M. G. Function representable as differences of subharmonic functions // Trans. Amer. Math. Soc.-- 1953.-- V. 75.-- P. 327--365. 17. Ронкин Л. И. Введение в теорию функций многих переменных.-- М.: Наука, 1971.-- 430 с. 18. Процик Ю. С. Мажоранти зростання і канонічне зображення $\delta$-субгармонійних функцій // Математичні Студії.-- 2003.-- Т. 20, № 1.-- С. 40--52. 19. Miles J. B. Quotient representations of meromorphic functions // J. d'Analyse Math.-- 1972.-- V. 336.-- P. 371--388. 20. Taylor B. A. The filds of quotient of some rings of entire functions // Proc. Symp. Pure. Math. Amer. Math. Soc. Providence, R. I.-- 1968.-- V. 11.-- P. 468--474. 21. Khabibullin B. N. The representation of meromorphic function as the quotient of entire functions and Paley problem in $\mathbb C^n$: survey of some results // MAG.-- 2002.-- V. 9, № 2.-- P. 146--167. 22. Веселовська О. В. Аналог теоремы Майлза для $\delta$-субгармонических в $\mathbb R^n$ функций // Укр. мат.~ж.-- 1984.-- Т. 36, № 6.-- С. 694--698. 23. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. -- М.: Мир, 1980.-- 304 с. 24. Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп. -- М.: Наука, 1965.-- 588 с. 25. Шварц Л. Анализ. Т. 1.-- М.: Мир, 1972.\ -- 824 с.
Pages	39-56
Volume	24
Issue	1
Year	2005
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html