Simple elementary division rings (in Russian)

B.V.Zabavskyi

It is proved that a simple Bezout domain is an elementary division ring if and only if this domain is 2-simple. According to Kaplansky's definition, a ring $R$ is an elementary division ring if every matrix over $R$ is equivalent to a diagonal matrix with condition of complete divisibility of the diagonal elements. There are quite a few examples of noncommutative elementary division rings.

1. Kaplansky I. Elementary divisors and modules // Trans. Amer. Math. Soc. -- 1949. -- V.66. -- P.464--491.

2. Teichmüller O. Der Elementarteilsatz für nichtkommutative Ringe // Abh. Pruess. Acad. Wiss. Phys.-Math. Kl. -- 1937. -- S.169--177.

3. Cohn P.M. Right principal Bezout domains // J. London Math. Soc. -- 1987. -- V.35, № 2. -- P.251--162.

4. Дубровин Н.И. О кольцах с элементарными делетелями // Изв. вуз. Мат. -- 1986, №11. -- C.14--20.

5. Забавский Б.В., Комарницкий Н.Я. О дистрибутивных кольцах элементарных делителей // Укр. мат. ж. -- 1990. -- Т. 42, №7. -- С.1002--1004.

6. Туганбаев А.А. Кольца элементарных делителей и дистрибутивные кольца // Успехи мат. наук. -- 1991. -- Т. 46, №6. -- С.219--220.

7. Vaserstein L.N. Bass's first stable range condition // J. of Pure and Appl. Alg. -- 1984. -- V.34. -- P.319--320.

8. Olszewski J. On ideals of products of rings // Demonstrativ mathematica. -- 1994. -- V.1. -- P.1--7.

9. Казимирский П.С. Теорема об элементарных делителях для дифференциальных операторов // Укр. мат. ж.-- 1964. -- Т.26, №3. -- С.1271-1278.

10. Zabavsky B. Diagonalization of matrices over ring with finite stable rank // Вісник Львів. ун-ту, сер. мех.-мат. -- 2003. -- Вип.61. -- C.206--210.

11. Henriksen M. On a class of regular rings that are elementary divisor rings // Arch. Math. -- 1973. -- V.24. -- P.133--141.

12. Забавский Б.В. О простых единично-регулярных кольцах элементарных делителей // Мат. студії. Праці Львів. мат. т-ва. -- 1993. -- Вип.2. -- С.43--45.

	Simple elementary division rings (in Russian)
Author	B.V.Zabavskyi Ivan Franko National University of Lviv
Abstract	It is proved that a simple Bezout domain is an elementary division ring if and only if this domain is 2-simple. According to Kaplansky's definition, a ring $R$ is an elementary division ring if every matrix over $R$ is equivalent to a diagonal matrix with condition of complete divisibility of the diagonal elements. There are quite a few examples of noncommutative elementary division rings.
Keywords	simple Bezout domain, elementary division ring, diagonal matrix
DOI	doi:10.30970/ms.22.2.129-133
Reference	1. Kaplansky I. Elementary divisors and modules // Trans. Amer. Math. Soc. -- 1949. -- V.66. -- P.464--491. 2. Teichmüller O. Der Elementarteilsatz für nichtkommutative Ringe // Abh. Pruess. Acad. Wiss. Phys.-Math. Kl. -- 1937. -- S.169--177. 3. Cohn P.M. Right principal Bezout domains // J. London Math. Soc. -- 1987. -- V.35, № 2. -- P.251--162. 4. Дубровин Н.И. О кольцах с элементарными делетелями // Изв. вуз. Мат. -- 1986, №11. -- C.14--20. 5. Забавский Б.В., Комарницкий Н.Я. О дистрибутивных кольцах элементарных делителей // Укр. мат. ж. -- 1990. -- Т. 42, №7. -- С.1002--1004. 6. Туганбаев А.А. Кольца элементарных делителей и дистрибутивные кольца // Успехи мат. наук. -- 1991. -- Т. 46, №6. -- С.219--220. 7. Vaserstein L.N. Bass's first stable range condition // J. of Pure and Appl. Alg. -- 1984. -- V.34. -- P.319--320. 8. Olszewski J. On ideals of products of rings // Demonstrativ mathematica. -- 1994. -- V.1. -- P.1--7. 9. Казимирский П.С. Теорема об элементарных делителях для дифференциальных операторов // Укр. мат. ж.-- 1964. -- Т.26, №3. -- С.1271-1278. 10. Zabavsky B. Diagonalization of matrices over ring with finite stable rank // Вісник Львів. ун-ту, сер. мех.-мат. -- 2003. -- Вип.61. -- C.206--210. 11. Henriksen M. On a class of regular rings that are elementary divisor rings // Arch. Math. -- 1973. -- V.24. -- P.133--141. 12. Забавский Б.В. О простых единично-регулярных кольцах элементарных делителей // Мат. студії. Праці Львів. мат. т-ва. -- 1993. -- Вип.2. -- С.43--45.
Pages	129-133
Volume	22
Issue	2
Year	2004
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html