On asymptotic behaviour of canonical product of entire order (in Ukrainian)

R.V.Khats'

For a canonical product $L$ of entire order $\rho\in (0;+\infty)$ $\rho\in (0;+\infty)$ which equals the genus of the product we prove that if the counting function of the zeros satisfies $n(t)=\Delta t^\rho +o(t^{\rho_1})$ $(t\to+\infty)$, $\rho_1\in (0,\rho)$, then $\ln\vert L(z)\vert=\frac 1{\rho}~ \text{Re}\left\{z^\rho\sum_{\lambda_{n}\le r}\lambda_{n}^{-\rho}\right\}-\Delta |z|^\rho\left(\frac 1{\rho}\cos\rho\varphi+(\varphi-\pi)\sin\rho\varphi\right) +o(|z|^{\rho_2})$ ($|z|\to+\infty$), $\rho_2\in (0;\rho)$.

1. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. – М.: Гостехиздат, 1956.– 632 c.

2. Гришин А. Ф. О регулярности роста субгармонических функций // Теория функций, функц. анализ и их прилож. (Харьков).– 1968.– Вып. 6.– С.3–29.

3. Гольдберг А. А., Островский И. В. Распределение значений мероморфных функций.– М.: Наука, 1970.– 591 c.

4. Субханкулов М. А. Тауберовы теоремы с остатком.– М.: Наука, 1976.– 399 c.

5. Винницький Б. В., Хаць Р. В. Про асимптотичну поведінку цілих функцій нецілого порядку // Матем. студії.– 2004.– Т. 21, № 2.– С. 140–150.

6. Агранович П. З., Логвиненко В. Н. Аналог теоремы Валирона-Титчмарша для двучленных асимптотик субгармонической функции с массами на конечной системе лучей // Сиб. мат. ж.– 1985.– Т. 26, № 5.– С. 3–19.

7. Логвиненко В. Н. О целых функциях с нулями на полупрямой. I // Теория функций, функц. анализ и их прилож. (Харьков).– 1972.– Вып. 16. – С. 154–158.

	On asymptotic behaviour of canonical product of entire order (in Ukrainian)
Author	R.V.Khats' mathanalys@mail.ru Ivan Franko Drohobych State Pedagogical University
Abstract	For a canonical product $L$ of entire order $\rho\in (0;+\infty)$ $\rho\in (0;+\infty)$ which equals the genus of the product we prove that if the counting function of the zeros satisfies $n(t)=\Delta t^\rho +o(t^{\rho_1})$ $(t\to+\infty)$, $\rho_1\in (0,\rho)$, then $\ln\vert L(z)\vert=\frac 1{\rho}~ \text{Re}\left\{z^\rho\sum_{\lambda_{n}\le r}\lambda_{n}^{-\rho}\right\}-\Delta \|z\|^\rho\left(\frac 1{\rho}\cos\rho\varphi+(\varphi-\pi)\sin\rho\varphi\right) +o(\|z\|^{\rho_2})$ ($\|z\|\to+\infty$), $\rho_2\in (0;\rho)$.
Keywords	canonical product, entire order, zero counting function
DOI	doi:10.30970/ms.22.1.105-110
Reference	1. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. – М.: Гостехиздат, 1956.– 632 c. 2. Гришин А. Ф. О регулярности роста субгармонических функций // Теория функций, функц. анализ и их прилож. (Харьков).– 1968.– Вып. 6.– С.3–29. 3. Гольдберг А. А., Островский И. В. Распределение значений мероморфных функций.– М.: Наука, 1970.– 591 c. 4. Субханкулов М. А. Тауберовы теоремы с остатком.– М.: Наука, 1976.– 399 c. 5. Винницький Б. В., Хаць Р. В. Про асимптотичну поведінку цілих функцій нецілого порядку // Матем. студії.– 2004.– Т. 21, № 2.– С. 140–150. 6. Агранович П. З., Логвиненко В. Н. Аналог теоремы Валирона-Титчмарша для двучленных асимптотик субгармонической функции с массами на конечной системе лучей // Сиб. мат. ж.– 1985.– Т. 26, № 5.– С. 3–19. 7. Логвиненко В. Н. О целых функциях с нулями на полупрямой. I // Теория функций, функц. анализ и их прилож. (Харьков).– 1972.– Вып. 16. – С. 154–158.
Pages	105-110
Volume	22
Issue	1
Year	2004
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html