Asymptotic behavior of the difference of subharmonic functions

B. N. Khabibullin

Let $\mu$ and $\nu$ be Borel positive measures of finite upper density for order $\rho$ in the complex plane $\Bbb C$ and let $u_{\mu}$ be a subharmonic function in $\Bbb C$ with the Riesz measure $\mu$. The main result of this paper shows that a some closeness of the measures $\mu$ and $\nu$ (of order $O\bigl(r^{\alpha}\bigr)$, $r\to +\infty$, in every sector $\bigl\{ z: |z|< r, \, 0 \leq \arg z \leq \psi \bigr\}$ uniformly with respect to $\psi \in [0, 2\pi ] $) implies the existence of subharmonic function $u_{\nu}$ with the Riesz measure $\nu$ such that $|u_{\mu}(z) -u_{\nu}(z)|= O\bigl(|z|^{\rho -\alpha}\log |z|\bigr)$ as $z\to \infty$, $z\notin E$, where $E$ is the union of a some exceptional set of disks with finite sum of radii.

1. Хабибуллин Б. Н. Об асимптотической близости субгармонических функций// Тезисы докладов VII Всесоюзной школы по теории операторов. Ч. II. Челябинск. – 1986. – P. 67.

2. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. – Физматгиз, Москва, 1956.

3. Pfluger A. Über ganze Funktionen ganzer Ordnung// Comm. Math. Helv. – 1946. – V. 18. – P. 177–203.

4. Азарин В. С. Об асимптотическом поведении субгармонических функций конечного порядка// Матем. сб. – 1979. – Т. 108 (150), № 2. – С. 147–169.

5. Ronkin L. I. Functions of completely regular growth. – Kluwer, Dordrecht, 1992.

6. Агранович П. З., Логвиненко В. Н. Аналог теоремы Валирона-Титчмарша для двухчленных асимптотик субгармонических функций с массами на конечной системе лучей // Сиб. матем. журн. – 1985. – Т. XXVI, № 5. – С. 3–19.

7. Агранович П. З., Логвиненко В. Н. Многочленные асимптотические представления субгармонической функции в плоскости // Сиб. матем. журн. – 1991. – Т. XXXII, № 1. – С. 3–21.

8. Агранович П. З. Многочленные асимптотические представления субгармонических функций с массами на конечной системе лучей// Матем. физика, анализ, геометрия. – 1996. – Т. 3, № 3/4. – С. 219–230.

9. Агранович П. З. Аппроксимация субгармонических функций и связанные с ней вопросы многочленных асимптотик// Матем. физика, анализ, геометрия. – 2000. – Т. 1, № 3. – Т. 255–265.

10. Юлмухаметов Р. С. Асимптотика разности субгармонических функций// Матем. заметки. – 1987. – Т. 41, № 3. – С. 348–355.

11. Hayman W. K., Kennedy P. B. Subharmonic functions, Vol.1. – Academic press, London, New York, San Francisco, 1976.

12. Хабибуллин Б. Н. Оценки снизу и свойства однородности субгармонических функций// Рукопись депонирована в ВИНИТИ. – 1984. – № 1604-84. – С. 1–34.

13. Хабибуллин Б. Н. Оценки снизу и свойства однородности субгармонических функций. В сб. статей “Исследования по теории аппроксимации функций”. – Уфа. – 1984. – Башкирский филиал АН СССР. – С. 148–159.

14. Хабибуллин Б. Н. Сравнение субгармонических функций по их ассоциированным мерам // Матем. сб. – 1984. – Т. 125 (167), № 4. – С. 522–538.

	Asymptotic behavior of the difference of subharmonic functions
Author	B. N. Khabibullin Bashkir State University,and Institute of Mathematics, Ufa, Russia
Abstract	Let $\mu$ and $\nu$ be Borel positive measures of finite upper density for order $\rho$ in the complex plane $\Bbb C$ and let $u_{\mu}$ be a subharmonic function in $\Bbb C$ with the Riesz measure $\mu$. The main result of this paper shows that a some closeness of the measures $\mu$ and $\nu$ (of order $O\bigl(r^{\alpha}\bigr)$, $r\to +\infty$, in every sector $\bigl\{ z: \|z\|< r, \, 0 \leq \arg z \leq \psi \bigr\}$ uniformly with respect to $\psi \in [0, 2\pi ] $) implies the existence of subharmonic function $u_{\nu}$ with the Riesz measure $\nu$ such that $\|u_{\mu}(z) -u_{\nu}(z)\|= O\bigl(\|z\|^{\rho -\alpha}\log \|z\|\bigr)$ as $z\to \infty$, $z\notin E$, where $E$ is the union of a some exceptional set of disks with finite sum of radii.
Keywords	Borel positive measure, finite upper density, subharmonic function
DOI	doi:10.30970/ms.21.1.47-63
Reference	1. Хабибуллин Б. Н. Об асимптотической близости субгармонических функций// Тезисы докладов VII Всесоюзной школы по теории операторов. Ч. II. Челябинск. – 1986. – P. 67. 2. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. – Физматгиз, Москва, 1956. 3. Pfluger A. Über ganze Funktionen ganzer Ordnung// Comm. Math. Helv. – 1946. – V. 18. – P. 177–203. 4. Азарин В. С. Об асимптотическом поведении субгармонических функций конечного порядка// Матем. сб. – 1979. – Т. 108 (150), № 2. – С. 147–169. 5. Ronkin L. I. Functions of completely regular growth. – Kluwer, Dordrecht, 1992. 6. Агранович П. З., Логвиненко В. Н. Аналог теоремы Валирона-Титчмарша для двухчленных асимптотик субгармонических функций с массами на конечной системе лучей // Сиб. матем. журн. – 1985. – Т. XXVI, № 5. – С. 3–19. 7. Агранович П. З., Логвиненко В. Н. Многочленные асимптотические представления субгармонической функции в плоскости // Сиб. матем. журн. – 1991. – Т. XXXII, № 1. – С. 3–21. 8. Агранович П. З. Многочленные асимптотические представления субгармонических функций с массами на конечной системе лучей// Матем. физика, анализ, геометрия. – 1996. – Т. 3, № 3/4. – С. 219–230. 9. Агранович П. З. Аппроксимация субгармонических функций и связанные с ней вопросы многочленных асимптотик// Матем. физика, анализ, геометрия. – 2000. – Т. 1, № 3. – Т. 255–265. 10. Юлмухаметов Р. С. Асимптотика разности субгармонических функций// Матем. заметки. – 1987. – Т. 41, № 3. – С. 348–355. 11. Hayman W. K., Kennedy P. B. Subharmonic functions, Vol.1. – Academic press, London, New York, San Francisco, 1976. 12. Хабибуллин Б. Н. Оценки снизу и свойства однородности субгармонических функций// Рукопись депонирована в ВИНИТИ. – 1984. – № 1604-84. – С. 1–34. 13. Хабибуллин Б. Н. Оценки снизу и свойства однородности субгармонических функций. В сб. статей “Исследования по теории аппроксимации функций”. – Уфа. – 1984. – Башкирский филиал АН СССР. – С. 148–159. 14. Хабибуллин Б. Н. Сравнение субгармонических функций по их ассоциированным мерам // Матем. сб. – 1984. – Т. 125 (167), № 4. – С. 522–538.
Pages	47-63
Volume	21
Issue	1
Year	2004
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html