An estimate of a size of  the set where the modulus of an  analytic function is greater than 1

I. E. Chyzhykov

For an entire function $f$ of arbitrary rapid growth we obtain a sharp estimate of a measure of the set $|f(z)|> 1$ in terms of the growth of $M(r,f)=\max\{ |f(z)|: |z|=r\}$. The corresponding example is constructed. We also consider the similar problem for analytic functions in the unit disc.

1. Edrei A. Sum of deficiencies of meromorphic functions, J. Anal. Math. 14 (1965), 79–104.

2. Baernstein A. II. Proof of Edrei's spread conjecture, Proc. London. Math. Soc. (3) 26 (1973), 418–434.

3. Anderson J.M., Baernstein A. II, The size of the set on which a meromorphic function is large, Proc. London Math. Soc.(3). 36 (1978), 518–539.

4. Марченко И. И. О величинах отклонений и протяжений мероморфных функций, Мат. сб. 186 (1995), № 3, 85–102.

5. Carleman T. Sur une inégalité différentielle dans la théorie des finctions analytiques, Compt. Rend. Acad. Sci. 169 (1933), 995–997.

6. Марченко И. И., Щерба А. И. О величине протяжения мероморфной в круге функции, Теор. функц., функц. анализ и их прил. (1991), Вып. 53, 104–113.

7. Эйдерман В.Я. Метрические характеристики исключительных множеств и теоремы единственности в теории функций Дисс. доктора физ.-мат. наук, Мат. ин-т им. В.А.Стеклова, С.-Пб. отд. РАН, Санкт-Петербург, 1999.

8. Arima K. On maximum modulus of integral functions, J. Math. Soc. Japan. 4 (1952), №1, 62--66.

9. Pfluger A. Des théorèmes du type de Phragmén-Lindelöf, Compt. Rend. Acad. Sci. 229 (1949), 542–543.

10. Гольдберг А. А. О множествах, на которых модуль целой функции ограничен снизу, Сиб. мат. журн. 20 (1979), № 3, 512–518.

11. Edrei A., Erd os P. Entire functions bounded outside a finite area, Acta Math. Hungar. 45 (1985), 367–376.

12. Li-Chien Shen, On the area of the region where an entire function is greater than one, Proc. Amer. Math. Soc. 102 (1988), №6, 68--70.

13. Warshawski S.E. On conformal mappings of infinite strips, Trans. Amer. Math. Soc. 51 (1941), 280–335.

	An estimate of a size of the set where the modulus of an analytic function is greater than 1
Author	I. E. Chyzhykov Faculty of Mechanics and Mathematics, Lviv Ivan Franko National University
Abstract	For an entire function $f$ of arbitrary rapid growth we obtain a sharp estimate of a measure of the set $\|f(z)\|> 1$ in terms of the growth of $M(r,f)=\max\{ \|f(z)\|: \|z\|=r\}$. The corresponding example is constructed. We also consider the similar problem for analytic functions in the unit disc.
Keywords	entire function, rapid growth, unit disc, analytic function
DOI	doi:10.30970/ms.21.1.35-46
Reference	1. Edrei A. Sum of deficiencies of meromorphic functions, J. Anal. Math. 14 (1965), 79–104. 2. Baernstein A. II. Proof of Edrei's spread conjecture, Proc. London. Math. Soc. (3) 26 (1973), 418–434. 3. Anderson J.M., Baernstein A. II, The size of the set on which a meromorphic function is large, Proc. London Math. Soc.(3). 36 (1978), 518–539. 4. Марченко И. И. О величинах отклонений и протяжений мероморфных функций, Мат. сб. 186 (1995), № 3, 85–102. 5. Carleman T. Sur une inégalité différentielle dans la théorie des finctions analytiques, Compt. Rend. Acad. Sci. 169 (1933), 995–997. 6. Марченко И. И., Щерба А. И. О величине протяжения мероморфной в круге функции, Теор. функц., функц. анализ и их прил. (1991), Вып. 53, 104–113. 7. Эйдерман В.Я. Метрические характеристики исключительных множеств и теоремы единственности в теории функций Дисс. доктора физ.-мат. наук, Мат. ин-т им. В.А.Стеклова, С.-Пб. отд. РАН, Санкт-Петербург, 1999. 8. Arima K. On maximum modulus of integral functions, J. Math. Soc. Japan. 4 (1952), №1, 62--66. 9. Pfluger A. Des théorèmes du type de Phragmén-Lindelöf, Compt. Rend. Acad. Sci. 229 (1949), 542–543. 10. Гольдберг А. А. О множествах, на которых модуль целой функции ограничен снизу, Сиб. мат. журн. 20 (1979), № 3, 512–518. 11. Edrei A., Erd os P. Entire functions bounded outside a finite area, Acta Math. Hungar. 45 (1985), 367–376. 12. Li-Chien Shen, On the area of the region where an entire function is greater than one, Proc. Amer. Math. Soc. 102 (1988), №6, 68--70. 13. Warshawski S.E. On conformal mappings of infinite strips, Trans. Amer. Math. Soc. 51 (1941), 280–335.
Pages	35-46
Volume	21
Issue	1
Year	2004
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html