The Baire categories
and Wiman's inequality for entire functions

P. V. Filevych

By the classical Wiman-Valiron theorem, for every entire function $f$ there exists an increasing to $+\infty$ sequence $(r_n)$ such that $\ln M(r_n,f)-\ln\mu(r_n,f)\le\left(\frac12+o(1)\right)\ln\ln\mu(r_n,f)$, $n\to\infty$, where $M(r,f)$ is the maximum modulus and $\mu(r,f)$ is the maximal term of $f$. It is known that in this theorem the constant $\frac12$ cannot be replaced by a smaller number. Using the concept of the Baire category, it is shown in the presented paper that for the majority of entire functions the constant $\frac12$ may be replaced by $\frac14$.

1. Rosenbloom P. Probability and entire functions // Stud. Math. Anal. Related Topics. – Stanford: Calif. Univ. Press, 1962. – P. 325–332.

2. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Т.2. – М.: Наука, 1978.

3. Erd os P., Rényi A. On random entire functions // Zastosowania Mat. – 1969. – V. 10. – P. 47–55.

4. Steele J. M. Sharper Wiman inequality for entire funtions with rapidly oscillating coefficients // J. Math. Anal. Appl. – 1987. – V. 123. – P. 550–558.

5. Філевич П.В. Деякі класи цілих функцій, в яких майже напевне можна покращити нерівність Вімана–Валірона // Мат. Студії. – 1996. – Т. 6. – С. 59–66.

6. Філевич П.В. Спiввiдношення мiж максимумом модуля i максимальним членом для випадкових цiлих функцій // Мат. Студії. – 1997. – Т. 7. – 194 2. – С. 157–166.

7. Clunie J., Hayman W. K. The maximum term of a power series, 2 // J. Anal. Math. – 1965. – V. 14. – P. 15–65.

8. Окстоби Дж. Мера и категория. – М.: Мир, 1974.

9. Anderson J.M. The radial growth of integral functions // J. London Math. Soc.(2). – 1970. – V.2. – P.318–320.

10. Їременко О.Е. Про валіронівські дефекти цілих характеристичних функцій скінченного порядку // Укр. мат. журн. – 1977. – Т.29, № 6. – C.807–809.

11. Еременко О.Э. О считающих функциях последовательностей $a$-точек для функций, голоморфных в круге // Теория функц., функ. анализ и их прил.\ -- 1977.\ -- Вып.31.\ -- С.59--62.

12. Weiss M. Concerning a theorem of Paley on lacunary power series // Acta Math. – 1959. – V. 102. – P. 225–238.

13. Kanane J.-P., Weiss M., Weiss G. On lacunary power series // Ark. Mat. – 1963. – V. 5. – P. 1–26.

	The Baire categories and Wiman's inequality for entire functions
Author	P. V. Filevych Faculty of Mechanics and Mathematics, Lviv Ivan Franko National University
Abstract	By the classical Wiman-Valiron theorem, for every entire function $f$ there exists an increasing to $+\infty$ sequence $(r_n)$ such that $\ln M(r_n,f)-\ln\mu(r_n,f)\le\left(\frac12+o(1)\right)\ln\ln\mu(r_n,f)$, $n\to\infty$, where $M(r,f)$ is the maximum modulus and $\mu(r,f)$ is the maximal term of $f$. It is known that in this theorem the constant $\frac12$ cannot be replaced by a smaller number. Using the concept of the Baire category, it is shown in the presented paper that for the majority of entire functions the constant $\frac12$ may be replaced by $\frac14$.
Keywords	Baire category, Wiman inequality, entire function
DOI	doi:10.30970/ms.20.2.215-221
Reference	1. Rosenbloom P. Probability and entire functions // Stud. Math. Anal. Related Topics. – Stanford: Calif. Univ. Press, 1962. – P. 325–332. 2. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Т.2. – М.: Наука, 1978. 3. Erd os P., Rényi A. On random entire functions // Zastosowania Mat. – 1969. – V. 10. – P. 47–55. 4. Steele J. M. Sharper Wiman inequality for entire funtions with rapidly oscillating coefficients // J. Math. Anal. Appl. – 1987. – V. 123. – P. 550–558. 5. Філевич П.В. Деякі класи цілих функцій, в яких майже напевне можна покращити нерівність Вімана–Валірона // Мат. Студії. – 1996. – Т. 6. – С. 59–66. 6. Філевич П.В. Спiввiдношення мiж максимумом модуля i максимальним членом для випадкових цiлих функцій // Мат. Студії. – 1997. – Т. 7. – 194 2. – С. 157–166. 7. Clunie J., Hayman W. K. The maximum term of a power series, 2 // J. Anal. Math. – 1965. – V. 14. – P. 15–65. 8. Окстоби Дж. Мера и категория. – М.: Мир, 1974. 9. Anderson J.M. The radial growth of integral functions // J. London Math. Soc.(2). – 1970. – V.2. – P.318–320. 10. Їременко О.Е. Про валіронівські дефекти цілих характеристичних функцій скінченного порядку // Укр. мат. журн. – 1977. – Т.29, № 6. – C.807–809. 11. Еременко О.Э. О считающих функциях последовательностей $a$-точек для функций, голоморфных в круге // Теория функц., функ. анализ и их прил.\ -- 1977.\ -- Вып.31.\ -- С.59--62. 12. Weiss M. Concerning a theorem of Paley on lacunary power series // Acta Math. – 1959. – V. 102. – P. 225–238. 13. Kanane J.-P., Weiss M., Weiss G. On lacunary power series // Ark. Mat. – 1963. – V. 5. – P. 1–26.
Pages	215-221
Volume	20
Issue	2
Year	2003
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html

The Baire categories and Wiman's inequality for entire functions