Integrating of some
(2+1)-dimentional integrable systems by methods of inverse scattering
problem and binary Darboux transformation (in Ukrainian)

M. D. Pochynaiko; Yu. M. Sydorenko

For space-twodimentional symetric generalizations of the $KdV(2dKdV)$ and modified $KdV$ equation $2dmKdV$ for alternative by known $L - P - Q$ Manacov's triad the Lax pairs $L - A$ are constructed. The binary Darboux transformations for the associated linear systems with $2dKdV, 2dmKdV$ and formulas for solution the studied equations in explicit forms are found. It is shown that explicit solutions of $2dKdV, 2dmKdV$ equations and solutions of space-twodimentional nonlinear Schroedinger equations obtained by the inverse scattering method for Dirac's operator are contained among solutions obtained by binary Darboux transformation as a special case.

1. Hижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния. — Киев: Hаук. думка, 1973. – 182 с.

2. Нижник Л.П., Починайко М.Д. Интегрирование пространственно-двумерного нелинейного уравнений Шредингера методом обратной задачи // Функцион. анализ и его прилож. – 1982. – Т.16, № 1. – С.80–82.

3. Нижник Л.П., Починайко М.Д. Нелинейное пространственно-двумерное уравнение Шредингера как интегрируемая гамильтонова система // Успехи мат. наук. – 1982. – Т.37, № 4. – С.111–112.

4. Починайко М.Д. Высшее пространственно-двумерное нелинейное уравнение Шредингера // Спектральная теория дифференциально-операторных уравнений. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1986. – С.103–106.

5. Нижник Л.П. Интегрирование многомерных нелинейных уравнений методом обратной задачи // ДАН СССР. – 1980. – Т.254, № 2. – С.332–335.

6. Нижник Л.П. Обратные задачи рассеяния для гиперболических уравнений. – Киев: Наук. думка, 1991. – 232 с.

7. Ablowitz M., Habevman R. Non-linear evolution equations – two and three dimensions // Phys. Rev. Lett. – 1975. – V.35, no 18. – P.1185–1189.

8. Cornille H. Solutions of the generalized non-linear Schvodinger equation in two spatial dimensions // J. Math. Phys. – 1979. – V.20, № 1. – P.199–209.

9. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. – М.: Наука, 1980. – 319 с.

10. Захаров В.Е. Метод обратной задачи рассеяния // Солитоны / Под ред. Р.Буллафа, Ф.Кодри. – М.: Мир, 1983. – С.270–309.

11. Matveev V.B., Salle M.A. Darboux transformations and solitons. – Berlin; Heidelderg: Springer, 1991. – 120 p.

12. Nimmo J.C. Darboux transformations for two-dimensional Zakharov-Shabat /AKNS spectral problem // Inverse Problems. – 1992. – V.8. – P.219–243.

13. Guil F., Manas M. Darbox transformation for the Davey-Stewartson equations // Phys. Lett. A. – 1996. – V.217. – P.1–6.

14. Сидоренко Ю.М. Бінарні перетворення і (2+1)-вимірні інтегровні системи // Укр.мат.журнал. – 2002. – Т.54, № 11. - С. 1531–1550.

15. Sydorenko Yu.M. Factorization of matrix differential operators and Darboux-like transformations // Matematychni Studii. – 2003. – V.19, № 2. – P.181–192.

16. Dubrovsky V.G., Formusatik I.B. The construction of exact rational solutions with constant asymptotic values at infinity of two-dimentional NVN integra\-ble nonlinear evolution equations via $\bar {\partial }$-dressing method // J.Phys. A: Math. Gen.\ -- 2001.\ -- V.34.\ -- P.1937--1851.

17. Dubrovsky V.G., Formusatik I.B. and Lisitsyn Ya.V. New exact solution of some two-dimentional integrable nonlinear evolution equations via $\bar {\partial }$-dressing method // Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. Mathematic ans its Application. -- Kyiv, 2002. Part 1. -- P.302-313.

18. Nizhnik L.P. Inverse scattering problem for the wave eqations and its applications // Parameter Identification and Inverse Problems in Hydrology, Geology and Ecology/ J.Gottlieb and P.DuChateu(eds.) – Kluwer Academic Publisher, 1996. – P.233-238.

19. Кулиш П.П., Липовский В.Д. О гамильтоновой интерпретации метода обратной задачи для уравнений Деви-Стюардсона // Зап.науч.семинаров ЛОМИ АН СССР. – 1987. – Т.164. – С.147–170.

	Integrating of some (2+1)-dimentional integrable systems by methods of inverse scattering problem and binary Darboux transformation (in Ukrainian)
Author	M. D. Pochynaiko, Yu. M. Sydorenko Lviv Polytechnic National University, Ivan Franko National University of Lviv
Abstract	For space-twodimentional symetric generalizations of the $KdV(2dKdV)$ and modified $KdV$ equation $2dmKdV$ for alternative by known $L - P - Q$ Manacov's triad the Lax pairs $L - A$ are constructed. The binary Darboux transformations for the associated linear systems with $2dKdV, 2dmKdV$ and formulas for solution the studied equations in explicit forms are found. It is shown that explicit solutions of $2dKdV, 2dmKdV$ equations and solutions of space-twodimentional nonlinear Schroedinger equations obtained by the inverse scattering method for Dirac's operator are contained among solutions obtained by binary Darboux transformation as a special case.
Keywords	Darboux transformation, Lax pair, Schroedinger equation
DOI	doi:10.30970/ms.20.2.119-132
Reference	1. Hижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния. — Киев: Hаук. думка, 1973. – 182 с. 2. Нижник Л.П., Починайко М.Д. Интегрирование пространственно-двумерного нелинейного уравнений Шредингера методом обратной задачи // Функцион. анализ и его прилож. – 1982. – Т.16, № 1. – С.80–82. 3. Нижник Л.П., Починайко М.Д. Нелинейное пространственно-двумерное уравнение Шредингера как интегрируемая гамильтонова система // Успехи мат. наук. – 1982. – Т.37, № 4. – С.111–112. 4. Починайко М.Д. Высшее пространственно-двумерное нелинейное уравнение Шредингера // Спектральная теория дифференциально-операторных уравнений. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1986. – С.103–106. 5. Нижник Л.П. Интегрирование многомерных нелинейных уравнений методом обратной задачи // ДАН СССР. – 1980. – Т.254, № 2. – С.332–335. 6. Нижник Л.П. Обратные задачи рассеяния для гиперболических уравнений. – Киев: Наук. думка, 1991. – 232 с. 7. Ablowitz M., Habevman R. Non-linear evolution equations – two and three dimensions // Phys. Rev. Lett. – 1975. – V.35, no 18. – P.1185–1189. 8. Cornille H. Solutions of the generalized non-linear Schvodinger equation in two spatial dimensions // J. Math. Phys. – 1979. – V.20, № 1. – P.199–209. 9. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. – М.: Наука, 1980. – 319 с. 10. Захаров В.Е. Метод обратной задачи рассеяния // Солитоны / Под ред. Р.Буллафа, Ф.Кодри. – М.: Мир, 1983. – С.270–309. 11. Matveev V.B., Salle M.A. Darboux transformations and solitons. – Berlin; Heidelderg: Springer, 1991. – 120 p. 12. Nimmo J.C. Darboux transformations for two-dimensional Zakharov-Shabat /AKNS spectral problem // Inverse Problems. – 1992. – V.8. – P.219–243. 13. Guil F., Manas M. Darbox transformation for the Davey-Stewartson equations // Phys. Lett. A. – 1996. – V.217. – P.1–6. 14. Сидоренко Ю.М. Бінарні перетворення і (2+1)-вимірні інтегровні системи // Укр.мат.журнал. – 2002. – Т.54, № 11. - С. 1531–1550. 15. Sydorenko Yu.M. Factorization of matrix differential operators and Darboux-like transformations // Matematychni Studii. – 2003. – V.19, № 2. – P.181–192. 16. Dubrovsky V.G., Formusatik I.B. The construction of exact rational solutions with constant asymptotic values at infinity of two-dimentional NVN integra\-ble nonlinear evolution equations via $\bar {\partial }$-dressing method // J.Phys. A: Math. Gen.\ -- 2001.\ -- V.34.\ -- P.1937--1851. 17. Dubrovsky V.G., Formusatik I.B. and Lisitsyn Ya.V. New exact solution of some two-dimentional integrable nonlinear evolution equations via $\bar {\partial }$-dressing method // Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. Mathematic ans its Application. -- Kyiv, 2002. Part 1. -- P.302-313. 18. Nizhnik L.P. Inverse scattering problem for the wave eqations and its applications // Parameter Identification and Inverse Problems in Hydrology, Geology and Ecology/ J.Gottlieb and P.DuChateu(eds.) – Kluwer Academic Publisher, 1996. – P.233-238. 19. Кулиш П.П., Липовский В.Д. О гамильтоновой интерпретации метода обратной задачи для уравнений Деви-Стюардсона // Зап.науч.семинаров ЛОМИ АН СССР. – 1987. – Т.164. – С.147–170.
Pages	119-132
Volume	20
Issue	2
Year	2003
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html

Integrating of some (2+1)-dimentional integrable systems by methods of inverse scattering problem and binary Darboux transformation (in Ukrainian)