Parabolic variational inequality
 in unbounded domains

K. Urbańska

A non-linear parabolic variational inequality in unbounded domain with respect to the space variables is considered. Sufficient conditions for the existence and the uniqueness of the solution of the inequality were obtained, which does not depend on the behaviour of the solution and the coefficients, the free term, the initial condition as $|x| \rightarrow + \infty$.

1. Tychonoff A. Théorèmes d'unicité pour l'equation de la chaleur // Mat. Sbornik. – 1935. – V. 42. № 2. – P.199–216.

2. Олейник О.А., Радкевич Е.В. Метод введения параметра для исследования эволюционных уравнений // Успехи мат. наук. – 1978. – Т.33, № 5. – C.7–72.

3. Brezis H. Semilinear equations in $R^n$ without condition at infinity // Appl. Math. Optim. -- 1984. -- V.~12. -- P.271--282.

4. Бокало M. M. Об однозначной разрешимости краевых задач для полулинейных параболических уравнений в неограниченной области без условий на бесконечности // Сиб. мат. журн. – 1993. – Т.34, № 4. – C.33–40.

5. Бокало M. M. Краевые задачи для полулинейных параболических уравнений в неограниченной области без условий на бесконечности, // Сиб. мат. журн. – 1996. – Т.37, № 5. – C.977–985.

6. Бокало M. M. Задача Фур'є для напівлінійних параболічних рівнянь довільного порядку в необмежених областях // Нелінійні граничні задачі. – 2000. – № 10. – C.9–15.

7. Herrero M. A., Pirre M. The Cauchy problem for $ u_t - \Delta u^m = 0$, when 0 < m < 1 // Trans. Amer. Math. Soc. -- 1985. -- V.291, no.1. -- P.145--158.

8. Friedman A. Regularity theorems for variational inequalities in unbounded domains and application to stopping time problems // Arch. Rational Mech. Anal. – 1973. – V.52. – P.134–160.

9. Бугрій О. M. Системи параболічних варіаційних нерівностей в необмеженій області // Вісник Львівськ. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 1999. – № 53. – C.77–86.

10. Gajewski H., Gröger K., Zacharias K. Nichtlineare Operatorgleichungen und Operatordifferentialgleichungen, Akademie Verlag, Berlin, 1974.

11. Lions J.L. Quelques methodes de résolution des problémes aux limites non linéaires, Dunod Gautier-Villars, Paris, 1969.

	Parabolic variational inequality in unbounded domains
Author	K. Urbańska Cracow University of Technology, Institute of Mathematics,24, Warszawska str., 31-155 Cracow, Poland
Abstract	A non-linear parabolic variational inequality in unbounded domain with respect to the space variables is considered. Sufficient conditions for the existence and the uniqueness of the solution of the inequality were obtained, which does not depend on the behaviour of the solution and the coefficients, the free term, the initial condition as $\|x\| \rightarrow + \infty$.
Keywords	non-linear parabolic variational, unbounded domain, space variables, behaviour of the solution
DOI	doi:10.30970/ms.19.2.165-180
Reference	1. Tychonoff A. Théorèmes d'unicité pour l'equation de la chaleur // Mat. Sbornik. – 1935. – V. 42. № 2. – P.199–216. 2. Олейник О.А., Радкевич Е.В. Метод введения параметра для исследования эволюционных уравнений // Успехи мат. наук. – 1978. – Т.33, № 5. – C.7–72. 3. Brezis H. Semilinear equations in $R^n$ without condition at infinity // Appl. Math. Optim. -- 1984. -- V.~12. -- P.271--282. 4. Бокало M. M. Об однозначной разрешимости краевых задач для полулинейных параболических уравнений в неограниченной области без условий на бесконечности // Сиб. мат. журн. – 1993. – Т.34, № 4. – C.33–40. 5. Бокало M. M. Краевые задачи для полулинейных параболических уравнений в неограниченной области без условий на бесконечности, // Сиб. мат. журн. – 1996. – Т.37, № 5. – C.977–985. 6. Бокало M. M. Задача Фур'є для напівлінійних параболічних рівнянь довільного порядку в необмежених областях // Нелінійні граничні задачі. – 2000. – № 10. – C.9–15. 7. Herrero M. A., Pirre M. The Cauchy problem for $ u_t - \Delta u^m = 0$, when 0 < m < 1 // Trans. Amer. Math. Soc. -- 1985. -- V.291, no.1. -- P.145--158. 8. Friedman A. Regularity theorems for variational inequalities in unbounded domains and application to stopping time problems // Arch. Rational Mech. Anal. – 1973. – V.52. – P.134–160. 9. Бугрій О. M. Системи параболічних варіаційних нерівностей в необмеженій області // Вісник Львівськ. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 1999. – № 53. – C.77–86. 10. Gajewski H., Gröger K., Zacharias K. Nichtlineare Operatorgleichungen und Operatordifferentialgleichungen, Akademie Verlag, Berlin, 1974. 11. Lions J.L. Quelques methodes de résolution des problémes aux limites non linéaires, Dunod Gautier-Villars, Paris, 1969.
Pages	165-180
Volume	19
Issue	2
Year	2003
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html

Parabolic variational inequality in unbounded domains