Asymptotic relations between the
means of Dirichlet series and their application

P. V. Filevych

For a Dirichlet series $F(s)=\sum_{n=0}^\infty a_n e^{s\lambda_n}$, $s=\sigma+it$, $0\le\lambda_n\uparrow+\infty$, such that $G_p(\sigma,F):= (\sum_{n=0}^\infty |a_n|^pe^{\sigma\lambda_np})^{1/p}<+\infty$ for every $\sigma\in{\Bbb R}$, a necessary and sufficient condition on $(a_n)$ is established in order that $G_p(\sigma,F)\le(1+o(1))G_q(\sigma,F) h(\ln G_q(\sigma,F))$ as $\sigma\to+\infty$, where $q>p>0$ and $h$ is a positive continuous function on ${\Bbb R}$. This result is applied for establishing estimates of exceptional sets in some relations between characteristics of Dirichlet series and for obtaining relations between the maximum modulus and the Nevanlinna characteristic for power series with gaps.

1. Шеремета М. Н. О соотношениях между максимальным членом и максимумом модуля целого ряда Дирихле // Матем. заметки. – 1992. – Т. 51, 194 5. – С. 141–148.

2. Filevych P. V. On the Sheremeta theorem concerning relations between the maximal term and the maximum modulus of entire Dirichlet series // Mat. Studii. – 2000. – V. 13, 194 2. – P. 139–144.

3. Salo T. M., Skaskiv O. B., Trakalo O. M. On the best possible description of exceptional set in the Wiman-Valiron theory for entire functions // Mat. Studii. – 2001. – V. 16, 194 2. – P. 131–140.

4. Гольдберг А. А. О росте целой функции, представленной лакунарным степенным рядом // Теория функций, функц. анализ и их прилож. – 1984. – Вып. 41. – С. 37–39.

5. Скасків О. Б. Максимум модуля і максимальний член цілого ряду Діріхле // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1984. – 194 11. – С. 22–24.

6. Скаскив О. Б. О поведении максимального члена ряда Дирихле, задающего целую функцию // Матем. заметки. – 1985. – Т. 31, 194 1. – С. 41–47.

7. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. – М.: Наука, 1976.

8. Шеремета М. М. Цілі ряди Діріхле. – К.: іСДО, 1993.

9. Філевич П. В. Асимптотична поведінка цілих функцій з винятковими значеннями у співвідношенні Бореля // Укр. мат. журн. – 2001. – Т. 53, 194 4. – С. 522–530.

10. Гольдберг А. А., Островский И. В. Распределение значений мероморфных функций. – М.: Наука, 1970.

	Asymptotic relations between the means of Dirichlet series and their application
Author	P. V. Filevych Faculty of Mechanics and Mathematics, Lviv Ivan Franko National University
Abstract	For a Dirichlet series $F(s)=\sum_{n=0}^\infty a_n e^{s\lambda_n}$, $s=\sigma+it$, $0\le\lambda_n\uparrow+\infty$, such that $G_p(\sigma,F):= (\sum_{n=0}^\infty \|a_n\|^pe^{\sigma\lambda_np})^{1/p}<+\infty$ for every $\sigma\in{\Bbb R}$, a necessary and sufficient condition on $(a_n)$ is established in order that $G_p(\sigma,F)\le(1+o(1))G_q(\sigma,F) h(\ln G_q(\sigma,F))$ as $\sigma\to+\infty$, where $q>p>0$ and $h$ is a positive continuous function on ${\Bbb R}$. This result is applied for establishing estimates of exceptional sets in some relations between characteristics of Dirichlet series and for obtaining relations between the maximum modulus and the Nevanlinna characteristic for power series with gaps.
Keywords	Dirichlet series, necessary and sufficient condition, positive continuous function, estimates of exceptional sets, maximum modulus
DOI	doi:10.30970/ms.19.2.127-140
Reference	1. Шеремета М. Н. О соотношениях между максимальным членом и максимумом модуля целого ряда Дирихле // Матем. заметки. – 1992. – Т. 51, 194 5. – С. 141–148. 2. Filevych P. V. On the Sheremeta theorem concerning relations between the maximal term and the maximum modulus of entire Dirichlet series // Mat. Studii. – 2000. – V. 13, 194 2. – P. 139–144. 3. Salo T. M., Skaskiv O. B., Trakalo O. M. On the best possible description of exceptional set in the Wiman-Valiron theory for entire functions // Mat. Studii. – 2001. – V. 16, 194 2. – P. 131–140. 4. Гольдберг А. А. О росте целой функции, представленной лакунарным степенным рядом // Теория функций, функц. анализ и их прилож. – 1984. – Вып. 41. – С. 37–39. 5. Скасків О. Б. Максимум модуля і максимальний член цілого ряду Діріхле // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1984. – 194 11. – С. 22–24. 6. Скаскив О. Б. О поведении максимального члена ряда Дирихле, задающего целую функцию // Матем. заметки. – 1985. – Т. 31, 194 1. – С. 41–47. 7. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. – М.: Наука, 1976. 8. Шеремета М. М. Цілі ряди Діріхле. – К.: іСДО, 1993. 9. Філевич П. В. Асимптотична поведінка цілих функцій з винятковими значеннями у співвідношенні Бореля // Укр. мат. журн. – 2001. – Т. 53, 194 4. – С. 522–530. 10. Гольдберг А. А., Островский И. В. Распределение значений мероморфных функций. – М.: Наука, 1970.
Pages	127-140
Volume	19
Issue	2
Year	2003
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html

Asymptotic relations between the means of Dirichlet series and their application