A spectral stiff problem for an elasticity system

Ye. Hrabchak

We study spectral properties of the stiff problem for an elasticity system with the Dirichlet boundary condition. The stiff part is located strictly inside the domain. The ratio of rigidities of soft and stiff parts is associated with a small parameter. We construct and justify the complete asymptotic expansions of prime eigenvalues and the corresponding eigenvectors with a fixed number. These expansions describe low frequency eigenvibration of the system.

1. Lions J.-L. Perturbations singulières dans les problèmes aus limites et en contrôle optima. Lect.Notes in Math.-- Berlin: Springer-Verlag, 1973.-- Vol.323.-- 645 pp.

2. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний.-- М.:Мир, 1984.-- 472 с.

3. Шамаев А. С., Иосифьян Г. А., Олейник О. А. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред.-- М.: Изд-во МГУ, 1990.-- 312 с.

4. Головатый Ю. Д. Спектральные свойства колебательных систем с присоединенными массами // Тр. Московск. матем. об-ва.-- 1992.-- Т.54.-- С.29--72.

5. J. Sanchez Hubert and E. Sánchez-Palencia, Vibration and coupling of continuous systems. Asymptotic methods.-- Berlin: Springer-Verlag, 1989.-- xvi+421p.

6. Назаров С. А., Мельник Т. А. Асимптотический анализ задачи Неймана на соединении тела с тонкими тяжелыми стержнями // Алгебра и анализ.-- 2000.-- Т.12.-- Вып.2.-- С.188--238.

7. Панасенко Г. П. Асимптотика решений и собственных значений эллиптических уравнений с сильно изменяющимися коэффициентами // ДАН СССР.-- 1980.-- Т.252, № 6.-- С.1320--1325.

8. Панасенко Г. П. Асимптотика собственных значений эллиптических уравнений с сильно изменяющимися коэффициентами // Труды семинара им.Петровского.-- 1987, №12.-- С.201--217.

9. Lions J.-L. Remarques sur les problèmes d'homogénéisation dans les milieux à structure périodique et sur quelques problèmes raides // Homogenization methods: theory and applications in physics (Bréau-sans-Nappe,1983).-- Paris: Eyrolles,1985.-- P.129--228.

10. Lobo-Hidalgo M., Sanchez-Palencia E. Perturbation of spectral properties for a class of stiff problem // Computing Methods in Applied Sciences and Engineering, North-Holland Publishing Compani.-- INRIA.-- 1980.-- P.683--697.

11. Geymonat G., Lobo-Hidalgo M., Sanchez-Palencia E. Spectral properties of certain stiff problems in elasticity and acoustics, Math.Meth.Appl.Sci.-- 1982.-- V.4.-- P.291--306.

12. Geymonat G., Sanchez-Palencia E. Spectral properties of certain stiff problems in elasticity and acoustics, part II // Proceedings of the Centre for the Mathematical Analysis, Australian National Univ.-- 1984.-- Vol.5.-- P.15--38.

13. Lobo-Hidalgo M., Sánchez-Palencia E. Low and high frequency vibration in stiff problems // Partial differential equations and the calculus of variations, in De Giorgy 60th Birthday.-- Birkhäuser, 1989.-- V.2.-- P.729--742.

14. Babych N. O., Golovaty Yu. D. Complete WKB asymptotics of high frequency vibrations in a stiff problem // Матем. студії.-- 2000.-- Т.14, № 1.-- С.59--72.

15. Бабич Н. О. Асимптотика низькочастотних власних коливань у жорсткій задачі // Вісник Львів. ун-ту.-- 2000.-- Вип.58.-- С.97--108.

16. Вишик М. И., Люстерник А. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи матем. наук.-- 1957.-- Т.12, №5.-- С.3--122.

17. Hrabchak H. Ye. On spectral stiff problem for the elasticity system. Low frequency vibration // Intern. conf. "Nonlinear partial differential equations", Book of Abstracts.-- Kyiv, 22--28, August, 2001.-- P.55.

18. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. -- М.:Наука, 1983.-- 424 с.

19. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. -- М.:Мир, 1974.-- 158 с.

	A spectral stiff problem for an elasticity system
Author	H. Ye. Hrabchak Faculty of Mechanics and Mathematics, Lviv National University
Abstract	We study spectral properties of the stiff problem for an elasticity system with the Dirichlet boundary condition. The stiff part is located strictly inside the domain. The ratio of rigidities of soft and stiff parts is associated with a small parameter. We construct and justify the complete asymptotic expansions of prime eigenvalues and the corresponding eigenvectors with a fixed number. These expansions describe low frequency eigenvibration of the system.
Keywords	spectral properties, stiff problem, elasticity system, Dirichlet boundary condition, stiff part, domain, ratio of rigidities, soft and stiff parts, small parameter
DOI	doi:10.30970/ms.18.1.81-98
Reference	1. Lions J.-L. Perturbations singulières dans les problèmes aus limites et en contrôle optima. Lect.Notes in Math.-- Berlin: Springer-Verlag, 1973.-- Vol.323.-- 645 pp. 2. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний.-- М.:Мир, 1984.-- 472 с. 3. Шамаев А. С., Иосифьян Г. А., Олейник О. А. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред.-- М.: Изд-во МГУ, 1990.-- 312 с. 4. Головатый Ю. Д. Спектральные свойства колебательных систем с присоединенными массами // Тр. Московск. матем. об-ва.-- 1992.-- Т.54.-- С.29--72. 5. J. Sanchez Hubert and E. Sánchez-Palencia, Vibration and coupling of continuous systems. Asymptotic methods.-- Berlin: Springer-Verlag, 1989.-- xvi+421p. 6. Назаров С. А., Мельник Т. А. Асимптотический анализ задачи Неймана на соединении тела с тонкими тяжелыми стержнями // Алгебра и анализ.-- 2000.-- Т.12.-- Вып.2.-- С.188--238. 7. Панасенко Г. П. Асимптотика решений и собственных значений эллиптических уравнений с сильно изменяющимися коэффициентами // ДАН СССР.-- 1980.-- Т.252, № 6.-- С.1320--1325. 8. Панасенко Г. П. Асимптотика собственных значений эллиптических уравнений с сильно изменяющимися коэффициентами // Труды семинара им.Петровского.-- 1987, №12.-- С.201--217. 9. Lions J.-L. Remarques sur les problèmes d'homogénéisation dans les milieux à structure périodique et sur quelques problèmes raides // Homogenization methods: theory and applications in physics (Bréau-sans-Nappe,1983).-- Paris: Eyrolles,1985.-- P.129--228. 10. Lobo-Hidalgo M., Sanchez-Palencia E. Perturbation of spectral properties for a class of stiff problem // Computing Methods in Applied Sciences and Engineering, North-Holland Publishing Compani.-- INRIA.-- 1980.-- P.683--697. 11. Geymonat G., Lobo-Hidalgo M., Sanchez-Palencia E. Spectral properties of certain stiff problems in elasticity and acoustics, Math.Meth.Appl.Sci.-- 1982.-- V.4.-- P.291--306. 12. Geymonat G., Sanchez-Palencia E. Spectral properties of certain stiff problems in elasticity and acoustics, part II // Proceedings of the Centre for the Mathematical Analysis, Australian National Univ.-- 1984.-- Vol.5.-- P.15--38. 13. Lobo-Hidalgo M., Sánchez-Palencia E. Low and high frequency vibration in stiff problems // Partial differential equations and the calculus of variations, in De Giorgy 60th Birthday.-- Birkhäuser, 1989.-- V.2.-- P.729--742. 14. Babych N. O., Golovaty Yu. D. Complete WKB asymptotics of high frequency vibrations in a stiff problem // Матем. студії.-- 2000.-- Т.14, № 1.-- С.59--72. 15. Бабич Н. О. Асимптотика низькочастотних власних коливань у жорсткій задачі // Вісник Львів. ун-ту.-- 2000.-- Вип.58.-- С.97--108. 16. Вишик М. И., Люстерник А. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи матем. наук.-- 1957.-- Т.12, №5.-- С.3--122. 17. Hrabchak H. Ye. On spectral stiff problem for the elasticity system. Low frequency vibration // Intern. conf. "Nonlinear partial differential equations", Book of Abstracts.-- Kyiv, 22--28, August, 2001.-- P.55. 18. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. -- М.:Наука, 1983.-- 424 с. 19. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. -- М.:Мир, 1974.-- 158 с.
Pages	81-98
Volume	18
Issue	1
Year	2002
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html