Stability structure of linear group over rings

V. M. Petechuk

It is shown that from the stability of factor-rings on Jacobson's radical or from the stability of localization of the associative rings on maximal ideals of their centers the stability of the rings follows. It is also proved that matrices with at least one zero element are stable and from the stability of all the elements of the general linear group over the associative ring its stability follows. The most important results of H. Bass, L. Vaserstein, S. H. Khlebutin, A. A. Suslin, I. S. Wilson, I. Z. Golubchik about the stability of the associative rings from the unified position are exposed.

1. H. Bass K-theory and stable algebra // Publ. Math. IHES. – 1964. – V.22. – P.5-60.

2. Басс Х. Алгебраическая $K$-теория. -- M.: Мир, 1973.

3. Супруненко Д. А. Групы матриц. – М.: Наука, 1972.

4. Васерштейн Л. Н. О стабилизации в алгебраической $K$-теории // Фунц. анализ и его прил. -- 1969. -- Т.3, № 2. -- С.85--86.

5. Vaserstein L. N., Suslin A. A. Serre's problem on projective modules over polynomial rings and algebraic $K$-theory // Math. USSR. Izv. -- 1976. -- V.10, № 5. -- P.937--1001.

6. Суслин А. А. О структуре специальной линейной группы над кольцом мноочленов // Изв. АН СССР. Сер.матем. – 1977. – Т.41, № 2. – С. 235–252.

7. Wilson I. S. The normal and subnormal structure of general linear groups // Proc. Cambr. Phil. Soc. – 1972. – Т.71, № 2. – P. 163–177.

8. Голубчик И. З. О полной линейной группе над ассоциативным кольцом // УМН. – 1973. – Т.27, № 3. – С.179–180.

9. Vaserstein L. N. On the normal subgroups ${\rm GL }_n$ over a ring // Springer Lecture Notes.\ 854 (Algebraic K-theory). -- 1981. -- P.454--465.

10. Голубчик И. З. О подгруппах полной линейной группы $\rm GL_n(R)$ над ассоциативным кольцом $R$ // УМН. -- 1984. -- Т.39, № 1. -- С.125--126.

11. Боревич З. И., Вавилов Н. А. Расположение подгрупп в полной линейной группе над коммутативным кольцом // Тр.МИАН СССР – 1984. – Т.165. – С. 24–42.

12. Хлебутин С. Г. Некоторые свойства элементарной подгруппы // Алгебра логика и теория чисел. – М.: Изд-во МГУ, 1986. – С. 86–90.

13. Хлебутин С. Г. Достаточные условия нормальности подгруппы элементарных матриц // УМН. – 1984. – Т.39, № 3. – С.245–246.

14. Петечук В. М. Гомоморфизмы линейных групп над коммутативными кольцами // Матем. замет ки. – 1989. – Т.46, № 5. – С.50–61.

15. Hahn A. I., O'Meara O. T. The classical groups and $K$-theory, -- Springer Verlag, 1989.

16. Герасимов В. Н. Группа единиц свободного произведения колец // Матем. сб. – 1987. – Т.134, № 1. – С.42–45.

17. Vaserstein L. N. Normal subgroups of the general linear groups over von Neumann regular rings // Proc. Amer. Math. Soc. – 1986. – V.96, № 2. – P. 209–214.

18. Голубчик И. З. О полной линейной группе над слабо нетеровыми ассоциативными алгебрами // Фундамент. и прикладная математика. – 1995. – Т.1, № 3. – С.661–668.

19. Голубчик И. З. О полной линейной группе над блочно алгебраическими кольцами // Тезисы докл. межд. алгебр. конф. пам. Д. К. Фадеева. Санкт-Петербург – 1997. – С. 186–187.

20. Абе Э. Автоморфизмы групп Шевалле над коммутативными кольцами // Алгебра и анализ. – 1993. – Т.5, вып. 2. – С. 74–90.

21. Abe E., Suzuki K. On normal subgroups of Chevalley groups over commutative rings // Tôhoku Math. J. – 1976. – V.28. – № 1. – P. 185–198.

22. Abe E. Chevalley groups over commutative rings // Proc. Conf. Radical Theory, Sendai.– 1988. – P.1–23.

23. Taddei G. Normalité des groupes eleméntaire class les groupes de Chevalley sur un anneau // Cont. Math. Amer. Math. Soc. – 1986. – V.55, part II. – P.693–710.

24. Vaserstein L. N. On normal subgroups of Chevalley groups over commutative rings // Tôhoku Math. J. – 1986. – V.38. – P. 219–230.

25. Голубчик И. З. Группы лиевского типа над $PI$-кольцами // Фунд. и прикладная математика. --1997. --Т.3, № 2. -- С.399--424.

26. Артамонов В. А. Квантовая проблема Серра // УМН. – 1998. – Т.53, вып. 4(322). – С. 3–76.

	Stability structure of linear group over rings
Author	V. M. Petechuk ipk@univ.uzhgorod.ua Ukraine, Uzhgorod, Sechenov str., 5.
Abstract	It is shown that from the stability of factor-rings on Jacobson's radical or from the stability of localization of the associative rings on maximal ideals of their centers the stability of the rings follows. It is also proved that matrices with at least one zero element are stable and from the stability of all the elements of the general linear group over the associative ring its stability follows. The most important results of H. Bass, L. Vaserstein, S. H. Khlebutin, A. A. Suslin, I. S. Wilson, I. Z. Golubchik about the stability of the associative rings from the unified position are exposed.
Keywords	associative rings, stability of rings, Jacobson radical, factor rings, localization of rings, maximal ideals of the center, general linear group
DOI	doi:10.30970/ms.16.1.13-24
Reference	1. H. Bass K-theory and stable algebra // Publ. Math. IHES. – 1964. – V.22. – P.5-60. 2. Басс Х. Алгебраическая $K$-теория. -- M.: Мир, 1973. 3. Супруненко Д. А. Групы матриц. – М.: Наука, 1972. 4. Васерштейн Л. Н. О стабилизации в алгебраической $K$-теории // Фунц. анализ и его прил. -- 1969. -- Т.3, № 2. -- С.85--86. 5. Vaserstein L. N., Suslin A. A. Serre's problem on projective modules over polynomial rings and algebraic $K$-theory // Math. USSR. Izv. -- 1976. -- V.10, № 5. -- P.937--1001. 6. Суслин А. А. О структуре специальной линейной группы над кольцом мноочленов // Изв. АН СССР. Сер.матем. – 1977. – Т.41, № 2. – С. 235–252. 7. Wilson I. S. The normal and subnormal structure of general linear groups // Proc. Cambr. Phil. Soc. – 1972. – Т.71, № 2. – P. 163–177. 8. Голубчик И. З. О полной линейной группе над ассоциативным кольцом // УМН. – 1973. – Т.27, № 3. – С.179–180. 9. Vaserstein L. N. On the normal subgroups ${\rm GL }_n$ over a ring // Springer Lecture Notes.\ 854 (Algebraic K-theory). -- 1981. -- P.454--465. 10. Голубчик И. З. О подгруппах полной линейной группы $\rm GL_n(R)$ над ассоциативным кольцом $R$ // УМН. -- 1984. -- Т.39, № 1. -- С.125--126. 11. Боревич З. И., Вавилов Н. А. Расположение подгрупп в полной линейной группе над коммутативным кольцом // Тр.МИАН СССР – 1984. – Т.165. – С. 24–42. 12. Хлебутин С. Г. Некоторые свойства элементарной подгруппы // Алгебра логика и теория чисел. – М.: Изд-во МГУ, 1986. – С. 86–90. 13. Хлебутин С. Г. Достаточные условия нормальности подгруппы элементарных матриц // УМН. – 1984. – Т.39, № 3. – С.245–246. 14. Петечук В. М. Гомоморфизмы линейных групп над коммутативными кольцами // Матем. замет ки. – 1989. – Т.46, № 5. – С.50–61. 15. Hahn A. I., O'Meara O. T. The classical groups and $K$-theory, -- Springer Verlag, 1989. 16. Герасимов В. Н. Группа единиц свободного произведения колец // Матем. сб. – 1987. – Т.134, № 1. – С.42–45. 17. Vaserstein L. N. Normal subgroups of the general linear groups over von Neumann regular rings // Proc. Amer. Math. Soc. – 1986. – V.96, № 2. – P. 209–214. 18. Голубчик И. З. О полной линейной группе над слабо нетеровыми ассоциативными алгебрами // Фундамент. и прикладная математика. – 1995. – Т.1, № 3. – С.661–668. 19. Голубчик И. З. О полной линейной группе над блочно алгебраическими кольцами // Тезисы докл. межд. алгебр. конф. пам. Д. К. Фадеева. Санкт-Петербург – 1997. – С. 186–187. 20. Абе Э. Автоморфизмы групп Шевалле над коммутативными кольцами // Алгебра и анализ. – 1993. – Т.5, вып. 2. – С. 74–90. 21. Abe E., Suzuki K. On normal subgroups of Chevalley groups over commutative rings // Tôhoku Math. J. – 1976. – V.28. – № 1. – P. 185–198. 22. Abe E. Chevalley groups over commutative rings // Proc. Conf. Radical Theory, Sendai.– 1988. – P.1–23. 23. Taddei G. Normalité des groupes eleméntaire class les groupes de Chevalley sur un anneau // Cont. Math. Amer. Math. Soc. – 1986. – V.55, part II. – P.693–710. 24. Vaserstein L. N. On normal subgroups of Chevalley groups over commutative rings // Tôhoku Math. J. – 1986. – V.38. – P. 219–230. 25. Голубчик И. З. Группы лиевского типа над $PI$-кольцами // Фунд. и прикладная математика. --1997. --Т.3, № 2. -- С.399--424. 26. Артамонов В. А. Квантовая проблема Серра // УМН. – 1998. – Т.53, вып. 4(322). – С. 3–76.
Pages	13-24
Volume	16
Issue	1
Year	2001
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html