Algebraic curves over $n$-dimensional
general local fields

V. I. Andriychuk

Let $k$ be an $n$-dimensional local field over a pseudofinite residue field $k_0$, $p$ be a prime number, $p \ne char k_0,$ and $X$ be a complete, smooth, absolutely irreducible curve over $k$ with successive good reductions. Suppose that $1 \le n \le 3,$ and that $k$ contains the group $\mu_p,$ of $p$-th roots of unity. It is proved that the etale cohomology groups $H^{n+2} (X, \mu_p)$ and $H^1(X, \mu_p)$ are dual.

1. Serre J. P. Corps locaux, Paris, Hermann, 1962.

2. Ax J. The elementary theory of finite field, Ann. Math. 88 (1968), № 2, 239–271.

3. Douai J.-C. Le théorème de Tate-Poiton pour les corps de fonctions des courbes définies sur les corps locaux de dimension $N$, J. Algebra 125 (1989), № 1, 181--196.

4. Беккер Б.М. Абелевы расширения полного дискретно нормированного поля конечной высоты, Алгебра и анализ 3 (1991), № 6, 76–84.

5. Серр Ж.-П. Когомологии Галуа, М.: Мир, 1968, 208 с.

6. Kato K. A generalization of local class field theory by using $K$-groups, I, II, III, J. Fac. Sci.\ Univ. Tokyo. Sect.1A. I. 26 (1979), 303--376.; II. 27 (1980), 603--683.; III. 29 (1982), 31--43.

7. Милн Дж. Этальные когомологии, М.: Мир, 1983, 392 c.

8. Платонов В.П., Рапинчук А.С. Алгебраические группы и теория чисел, М.: Наука, 1991, 654 c.

9. Lang S., Tate J. Principal homogeneous spaces over abelian varieties, Amer. J. Math. 80 (1958), № 3, 659–684.

10. Башмаков М.М. Когомологии абелевых многообразий над числовым полем, Успехи матем. наук. 28 (1972), Bып.6, 25–66.

11. Lichtenbaum S. Duality theorems for curves over $p$-adic fields, Invent. Math. 7 (1969), 120--136.

12. Андрійчук В.І. Двоїстість в етальних когомогіях кривих над псевдоскінченним полем, Вісник ЛДУ. Сер. мех-мат., (1999), Вип. 53, 10–13.

	Algebraic curves over $n$-dimensional general local fields
Author	V. I. Andriychuk Faculty of Mechanics and Mathematics, Lviv National University
Abstract	Let $k$ be an $n$-dimensional local field over a pseudofinite residue field $k_0$, $p$ be a prime number, $p \ne char k_0,$ and $X$ be a complete, smooth, absolutely irreducible curve over $k$ with successive good reductions. Suppose that $1 \le n \le 3,$ and that $k$ contains the group $\mu_p,$ of $p$-th roots of unity. It is proved that the etale cohomology groups $H^{n+2} (X, \mu_p)$ and $H^1(X, \mu_p)$ are dual.
Keywords	n-dimensional local field over a pseudofinite , complete, smooth
DOI	doi:10.30970/ms.15.2.209-214
Reference	1. Serre J. P. Corps locaux, Paris, Hermann, 1962. 2. Ax J. The elementary theory of finite field, Ann. Math. 88 (1968), № 2, 239–271. 3. Douai J.-C. Le théorème de Tate-Poiton pour les corps de fonctions des courbes définies sur les corps locaux de dimension $N$, J. Algebra 125 (1989), № 1, 181--196. 4. Беккер Б.М. Абелевы расширения полного дискретно нормированного поля конечной высоты, Алгебра и анализ 3 (1991), № 6, 76–84. 5. Серр Ж.-П. Когомологии Галуа, М.: Мир, 1968, 208 с. 6. Kato K. A generalization of local class field theory by using $K$-groups, I, II, III, J. Fac. Sci.\ Univ. Tokyo. Sect.1A. I. 26 (1979), 303--376.; II. 27 (1980), 603--683.; III. 29 (1982), 31--43. 7. Милн Дж. Этальные когомологии, М.: Мир, 1983, 392 c. 8. Платонов В.П., Рапинчук А.С. Алгебраические группы и теория чисел, М.: Наука, 1991, 654 c. 9. Lang S., Tate J. Principal homogeneous spaces over abelian varieties, Amer. J. Math. 80 (1958), № 3, 659–684. 10. Башмаков М.М. Когомологии абелевых многообразий над числовым полем, Успехи матем. наук. 28 (1972), Bып.6, 25–66. 11. Lichtenbaum S. Duality theorems for curves over $p$-adic fields, Invent. Math. 7 (1969), 120--136. 12. Андрійчук В.І. Двоїстість в етальних когомогіях кривих над псевдоскінченним полем, Вісник ЛДУ. Сер. мех-мат., (1999), Вип. 53, 10–13.
Pages	209-214
Volume	15
Issue	2
Year	2001
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html

Algebraic curves over $n$-dimensional general local fields