Nondegenerate product in the kernels of localisation over pseudoglobal fields(in Ukrainian)

V.I.Andriychuk

Let $K$ be an algebraic function field in one variable over a pseudofinite constant field, $V^K$ the set of all the valuations of $K$ (which are trivial on constant field), $K_v$ be the completion of $K$ at $v \in V^K$, $K_{sep}$ denote a separable closure of $K$, $G_K=\mathop{\rm Gal} (K_{sep}/K).$ Let $M$ be a finite $G_K$-module and $M^D=\mathop{\rm Hom}(M,K^*_{sep})$ be its dual, $\text{Ш}^i(M)=\mathop{\rm Ker} (H^i(K,M) \to \prod_{v \in V^K} H^i(K_v,M))$ the kernels of localisation maps. It is proved that the groups $\text{Ш}^i(M)$, $i=1,2,$ are finite and there is a nondegenerate pairing $ \text{Ш}^1(M)\times \text{Ш}^2(M^D) \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$

1. Серр Ж.-П. Когомологии Галуа. – М.: Мир, 1968. – 208 c.

2. Tate J. Duality theorems in Galois cohomology over number fields // Proc. Int. Cong. Math., Stockholm. – 1962. – P.288–295.

3. Milne J. S. Arithmetic Duality Theorems. – Academic Press, Inc. 1986. – 422 pp.

4. Башмаков М. М. Когомологии абелевых многообразий над числовым полем, // Успехи мат. наук. – 1972. – Т.27, № 6. – C.25–66.

5. Ax J. The elementary theory of finite field // Ann. Math. – 1968. – V.88, no. 2. – P.239–271.

6. Rihm D. S., Whaples G. Global norm – residue map over quasifinite fields // Nagoya Math. J. – 1966. – V.27, no. 1. – P.323–329.

7. Андрійчук В. І. Когомології Галуа скінченних модулів над псевдоглобальними полями // Вісник держ. у-ту "Львівська політехніка". – 1998. – № 337. – C.5–7.

8. Андрійчук В. І. Скінченні модулі над псевдоглобальними полями // Вісник Київського університету, сер. фіз.-мат. – 2000. – Вип.1. – C.23–26.

9. Яковлев А. В. Задача погружения для числовых полей // Изв. АН СССР, сер.матем. – 1967. – Т.31, № 2. – C.211–224.

10. Воскресенский В. Е. Алгебраические торы. – М.: Мир, 1968. – 223 c.

11. Andriychuk V. On the algebraic tori over some function fields // Матем. студії. – 1999. – T.12, № 2. – P.115–126.

	Nondegenerate product in the kernels of localisation over pseudoglobal fields(in Ukrainian)
Author	V.I.Andriychuk Faculty of Mechanics and Mathematics, Lviv National University
Abstract	Let $K$ be an algebraic function field in one variable over a pseudofinite constant field, $V^K$ the set of all the valuations of $K$ (which are trivial on constant field), $K_v$ be the completion of $K$ at $v \in V^K$, $K_{sep}$ denote a separable closure of $K$, $G_K=\mathop{\rm Gal} (K_{sep}/K).$ Let $M$ be a finite $G_K$-module and $M^D=\mathop{\rm Hom}(M,K^*_{sep})$ be its dual, $\text{Ш}^i(M)=\mathop{\rm Ker} (H^i(K,M) \to \prod_{v \in V^K} H^i(K_v,M))$ the kernels of localisation maps. It is proved that the groups $\text{Ш}^i(M)$, $i=1,2,$ are finite and there is a nondegenerate pairing $ \text{Ш}^1(M)\times \text{Ш}^2(M^D) \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$
Keywords	algebraic function field K in one variable, pseudofinite constant field, separable closure , localisation maps
DOI	doi:10.30970/ms.15.1.3-8
Reference	1. Серр Ж.-П. Когомологии Галуа. – М.: Мир, 1968. – 208 c. 2. Tate J. Duality theorems in Galois cohomology over number fields // Proc. Int. Cong. Math., Stockholm. – 1962. – P.288–295. 3. Milne J. S. Arithmetic Duality Theorems. – Academic Press, Inc. 1986. – 422 pp. 4. Башмаков М. М. Когомологии абелевых многообразий над числовым полем, // Успехи мат. наук. – 1972. – Т.27, № 6. – C.25–66. 5. Ax J. The elementary theory of finite field // Ann. Math. – 1968. – V.88, no. 2. – P.239–271. 6. Rihm D. S., Whaples G. Global norm – residue map over quasifinite fields // Nagoya Math. J. – 1966. – V.27, no. 1. – P.323–329. 7. Андрійчук В. І. Когомології Галуа скінченних модулів над псевдоглобальними полями // Вісник держ. у-ту "Львівська політехніка". – 1998. – № 337. – C.5–7. 8. Андрійчук В. І. Скінченні модулі над псевдоглобальними полями // Вісник Київського університету, сер. фіз.-мат. – 2000. – Вип.1. – C.23–26. 9. Яковлев А. В. Задача погружения для числовых полей // Изв. АН СССР, сер.матем. – 1967. – Т.31, № 2. – C.211–224. 10. Воскресенский В. Е. Алгебраические торы. – М.: Мир, 1968. – 223 c. 11. Andriychuk V. On the algebraic tori over some function fields // Матем. студії. – 1999. – T.12, № 2. – P.115–126.
Pages	3-8
Volume	15
Issue	1
Year	2001
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html