Free topological inverse semigroups

T.O.Banakh; I.Yo.Guran; O.V.Gutik

In the~paper we consider free objects $I(X)$, $IC(X)$, $IA(X)$, and $SL(X)$ in the category of topological inverse semigroups and its subcategories of topological inverse Clifford, inverse Abelian semigroups, and topological semilattices, respectively. We prove that these objects exist and are algebraically free over functionally Hausdorff spaces, they are (local) $k_{\omega}$-spaces if and only if $X$ is a~(local) $k_{\omega}$-space. We investigate also the~question of~preservation of~embeddings by these free constructions.

1. А. В. Архангельский. Классы топологических групп Успехи мат. наук. 36 (1981), no.3, 127–146.

2. А. В. Архангельский. Топологические пространства функций, Изд-во МГУ, Москва, 1989.

3. А. В. Архангельский. Любая топологическая группа является фактор-группой нульмерной топологической группы, ДАН СССР. 258 (1981), no.5, 1037–1040.

4. A. V. Arkhangel'ski, O. G. Okunev, V. G. Pestov. Free topological groups over metrizable spaces, Topology Appl. 33 (1989), 63–76.

5. В. И. Арнаутов. Об изоморфизмах свободных топологических групп, колец и модулей, порожденных топологическими пространствами, Buletinul A. S. a R. M. Matematica. 12 (1993), no.2, 63–71.

6. T. Banakh. Sur la caractérisation topologique des compacts à l'aide des demi-treillis des pseudométriques continues, Studia Math. 116 (1995), 303–310.

7. T. Banakh, C. Bessaga. On linear operators extending [pseudo]metrics, Bull. Polish Acad. Sci. Math. 48 (2000), 35–49.

8. Т. Банах, R. Cauty. Топологическая классификация пространств вероятностных мер коаналитических множеств, Мат. Заметки 55 (1994), 10–19.

9. T.~Banakh, K.~Sakai. Free topological semilattices homeomorphic to $\Bbb R^\infty$ or $Q^\infty$, Topology Appl. 106 (2000), 135--147.

10. T.~Banakh, K.~Sakai. Characterizations of $(\Bbb R^\infty,\sigma)$- or $(Q^\infty,\Sigma)$-manifolds and their applications, Topology Appl. 106 (2000), 115-134.

11. Л. Є. Базилевич, М. М. Зарічний. Вступ до топології нескінченно-вимірних многовидів, Київ, 1996.

12. C. Bessaga, A. Pelczyński. Selected Topics in Infinite-Dimensional Topology, PWN, Warszawa, 1975.

13. C. J. R. Borges. On stratifiable spaces, Pacific J. Math. 17 (1966), 1–16.

14. R. Brown, S. A. Morris. Embedding in contractible or compact objects, Colloq. Math. 37 (1978), 213–222.

15. J. H. Carrus, J. A. Hildebrandt, R.J. Koch, The Theory of Topological Semigroups, I, II, Marcell Dekker, New York, 1983 and 1986.

16. М. М. Чобан. К теории топологических алгебраических систем, Труды Московского Мат. Общества. 48 (1985), 106–149.

17. M. M. Choban. Some topics in topological algebra, Topology Appl. 54 (1993), 183–202.

18. М. М. Чобан, Л. Л. Кирияк. Применения павномерных структур при исследовании свободных топологических алгебр, Сиб. мат. журн. 33 (1992), no.5, 159–175.

19. F. T. Christoph. Free topological semigroups and embedding topological semigroups in topological groups, Pacif. J. Math. 34 (1970), 343–353.

20. A. H. Clifford, G. B. Preston. The Algebraic Theory of Semigroups, I, II, Amer. Math. Soc., Surveys 7, 1961 and 1967.

21. D. W. Curtis, Nguen To Nhu. Hyperspaces of finite subsets which are homeomorphic to $\aleph_0$-dimensional linear metric space, Topology Appl. 19 (1985), 251--260.

22. E. van Douwen. The integers and Topology, Handbook of Set-Theoretic Topology: K.Kunen and J.E.Vaughan, North-Holland, Amsterdam (1984), 111–167.

23. R. Engelking, General Topology, PWN, Warszawa, 1986.

24. R. Engelking, Theory of dimensions, finite and infinite, Heldermann Verlag, Lemgo, 1995.

25. S. P. Franklin. Spaces in which sequences suffice, Fund. Math. 57 (1965), 107–115.

26. S. P. Franklin, B. V. Smith Thomas. A~survey of $k_{\omega}$-spaces, Topology Proc. 2 (1977), 111--124.

27. М. И. Граев. Свободные топологические группы, Известия АН СССР. Сер. Мат. 12 (1948), no.3, 279–324.

28. S. Hartman, J. Mycielski. On the imbeddings of topological groups into connected topological groups, Colloq. Math. 5 (1958), 167–169.

29. O.~Hryniv. Free topological inverse semigroups and ${\Bbb R}^\infty$-manifolds, info in preparation

30. K. H. Hofmann, P. S. Mostert, Elements of Compact Semigroups, Charles E. Merrill, Columbus, Ohio, 1966.

31. S. T. Hu, Theory of Retracts, Wayne State Univ. Press, Detroit, 1965.

32. Sh. Kakutani, Free topological groups and infinite direct product of topological groups, Proc. Imp. Acad. Tokyo 20 (1944), 595–598.

33. A. S. Kechris, Classical descriptive set theory, Springer-Verlag, 1995.

34. L. D. Lawson. Topological semilattices with small semilattices, J. London Math. Soc. (2) 1 (1969), 719–724.

35. J. Mack, S. A. Morris, E. T. Ordman. Free topological groups and the projective dimension of a locally compact Abelian group, Proc. Amer. Math. Soc. 40 (1973), 303–308.

36. А. А. Марков. О свободных топологических группах, ДАН СССР. 31 (1941), no.4, 299–301.

37. А. А. Марков. О свободных топологических группах, Известия АН СССР. Сер. Мат. 9 (1945) no.1, 3–64.

38. M. M. McWaters. A note on topological semilattices, J. London Math. Soc. Ser. 2. 1 (1969), no.4, 64–66.

39. T. Nakayama. Note on free topological groups, Proc. Imp. Acad. Tokyo. 19 (1943), 471–475.

40. О. Г. Окунев. О несохранении одного топологического свойства отношением $M$-эквивалентности, Непрерывные функции на топ. пространствах, Рига, 1986, C.123--125.

41. В. Г. Пестов. Окрестности единицы в свободных группах Вестник МГУ. Мат. Мех. (1985), no.3, 8–10.

42. В. Г. Пестов. Некоторые свойства свободных топологических групп Вестник МГУ. Мат. Мех. (1982), no.1, 35–37.

43. В. Г. Пестов. Совпадение размерностей $\dim$ $l$-эквивалентных топологических пространств, ДАН СССР. 266 (1982), 553--556.

44. M. Petrich, Inverse Semigroups, John Wiley & Sons, New York, 1984.

45. M. Petrich. Free inverse semigroups, Colloq. Math. 59 (1990), 213–221.

46. О. В. Сипачева. Описание топологии свободных топологических групп без использования универсальных равномерных структур, Общая топология. Отображения топ. пространств, Изд-во МГУ, Москва, 01986, 122–129.

47. O. V. Sipacheva. Free topological groups of spaces and their subspaces, Topology Appl. 101 (2000), 181–212.

48. M. G. Tkachenko. On topologies of free groups, Czechosl. Math. J. 34 (1984), 541–551.

49. В. В. Успенский. О подгруппах свободных топологических групп, ДАН СССР. 285 (1985), no.5, 1070–1072.

50. М. М. Заричный. Свободные топологические группы абсолютных окрестностных ретрактов и бесконечномерные многообразия, ДАН СССР. 266 (1982), no.3, 541–544.

	Free topological inverse semigroups
Author	T.O.Banakh, I.Yo.Guran, O.V.Gutik tbanakh@franko.lviv.ua, topos@franko.lviv.ua, ogutik@iapmm.lviv.ua Department of Mathematics, Lviv National ,University, Universytetska, 1, Lviv, 79000, Ukraine, , , ,Department of Algebra, ,Institute of Applied Problems of Mechanics and Mathematics, 13b, Naukova Str., Lviv, 79601, Ukraine
Abstract	In the~paper we consider free objects $I(X)$, $IC(X)$, $IA(X)$, and $SL(X)$ in the category of topological inverse semigroups and its subcategories of topological inverse Clifford, inverse Abelian semigroups, and topological semilattices, respectively. We prove that these objects exist and are algebraically free over functionally Hausdorff spaces, they are (local) $k_{\omega}$-spaces if and only if $X$ is a~(local) $k_{\omega}$-space. We investigate also the~question of~preservation of~embeddings by these free constructions.
Keywords	category of topological inverse semigroups, topological inverse Clifford semigroups, inverse Abelian semigroups, topological semilattices, algebraically free over functionally Hausdorff spaces, preservation of embeddings
DOI	doi:10.30970/ms.15.1.23-43
Reference	1. А. В. Архангельский. Классы топологических групп Успехи мат. наук. 36 (1981), no.3, 127–146. 2. А. В. Архангельский. Топологические пространства функций, Изд-во МГУ, Москва, 1989. 3. А. В. Архангельский. Любая топологическая группа является фактор-группой нульмерной топологической группы, ДАН СССР. 258 (1981), no.5, 1037–1040. 4. A. V. Arkhangel'ski, O. G. Okunev, V. G. Pestov. Free topological groups over metrizable spaces, Topology Appl. 33 (1989), 63–76. 5. В. И. Арнаутов. Об изоморфизмах свободных топологических групп, колец и модулей, порожденных топологическими пространствами, Buletinul A. S. a R. M. Matematica. 12 (1993), no.2, 63–71. 6. T. Banakh. Sur la caractérisation topologique des compacts à l'aide des demi-treillis des pseudométriques continues, Studia Math. 116 (1995), 303–310. 7. T. Banakh, C. Bessaga. On linear operators extending [pseudo]metrics, Bull. Polish Acad. Sci. Math. 48 (2000), 35–49. 8. Т. Банах, R. Cauty. Топологическая классификация пространств вероятностных мер коаналитических множеств, Мат. Заметки 55 (1994), 10–19. 9. T.~Banakh, K.~Sakai. Free topological semilattices homeomorphic to $\Bbb R^\infty$ or $Q^\infty$, Topology Appl. 106 (2000), 135--147. 10. T.~Banakh, K.~Sakai. Characterizations of $(\Bbb R^\infty,\sigma)$- or $(Q^\infty,\Sigma)$-manifolds and their applications, Topology Appl. 106 (2000), 115-134. 11. Л. Є. Базилевич, М. М. Зарічний. Вступ до топології нескінченно-вимірних многовидів, Київ, 1996. 12. C. Bessaga, A. Pelczyński. Selected Topics in Infinite-Dimensional Topology, PWN, Warszawa, 1975. 13. C. J. R. Borges. On stratifiable spaces, Pacific J. Math. 17 (1966), 1–16. 14. R. Brown, S. A. Morris. Embedding in contractible or compact objects, Colloq. Math. 37 (1978), 213–222. 15. J. H. Carrus, J. A. Hildebrandt, R.J. Koch, The Theory of Topological Semigroups, I, II, Marcell Dekker, New York, 1983 and 1986. 16. М. М. Чобан. К теории топологических алгебраических систем, Труды Московского Мат. Общества. 48 (1985), 106–149. 17. M. M. Choban. Some topics in topological algebra, Topology Appl. 54 (1993), 183–202. 18. М. М. Чобан, Л. Л. Кирияк. Применения павномерных структур при исследовании свободных топологических алгебр, Сиб. мат. журн. 33 (1992), no.5, 159–175. 19. F. T. Christoph. Free topological semigroups and embedding topological semigroups in topological groups, Pacif. J. Math. 34 (1970), 343–353. 20. A. H. Clifford, G. B. Preston. The Algebraic Theory of Semigroups, I, II, Amer. Math. Soc., Surveys 7, 1961 and 1967. 21. D. W. Curtis, Nguen To Nhu. Hyperspaces of finite subsets which are homeomorphic to $\aleph_0$-dimensional linear metric space, Topology Appl. 19 (1985), 251--260. 22. E. van Douwen. The integers and Topology, Handbook of Set-Theoretic Topology: K.Kunen and J.E.Vaughan, North-Holland, Amsterdam (1984), 111–167. 23. R. Engelking, General Topology, PWN, Warszawa, 1986. 24. R. Engelking, Theory of dimensions, finite and infinite, Heldermann Verlag, Lemgo, 1995. 25. S. P. Franklin. Spaces in which sequences suffice, Fund. Math. 57 (1965), 107–115. 26. S. P. Franklin, B. V. Smith Thomas. A~survey of $k_{\omega}$-spaces, Topology Proc. 2 (1977), 111--124. 27. М. И. Граев. Свободные топологические группы, Известия АН СССР. Сер. Мат. 12 (1948), no.3, 279–324. 28. S. Hartman, J. Mycielski. On the imbeddings of topological groups into connected topological groups, Colloq. Math. 5 (1958), 167–169. 29. O.~Hryniv. Free topological inverse semigroups and ${\Bbb R}^\infty$-manifolds, info in preparation 30. K. H. Hofmann, P. S. Mostert, Elements of Compact Semigroups, Charles E. Merrill, Columbus, Ohio, 1966. 31. S. T. Hu, Theory of Retracts, Wayne State Univ. Press, Detroit, 1965. 32. Sh. Kakutani, Free topological groups and infinite direct product of topological groups, Proc. Imp. Acad. Tokyo 20 (1944), 595–598. 33. A. S. Kechris, Classical descriptive set theory, Springer-Verlag, 1995. 34. L. D. Lawson. Topological semilattices with small semilattices, J. London Math. Soc. (2) 1 (1969), 719–724. 35. J. Mack, S. A. Morris, E. T. Ordman. Free topological groups and the projective dimension of a locally compact Abelian group, Proc. Amer. Math. Soc. 40 (1973), 303–308. 36. А. А. Марков. О свободных топологических группах, ДАН СССР. 31 (1941), no.4, 299–301. 37. А. А. Марков. О свободных топологических группах, Известия АН СССР. Сер. Мат. 9 (1945) no.1, 3–64. 38. M. M. McWaters. A note on topological semilattices, J. London Math. Soc. Ser. 2. 1 (1969), no.4, 64–66. 39. T. Nakayama. Note on free topological groups, Proc. Imp. Acad. Tokyo. 19 (1943), 471–475. 40. О. Г. Окунев. О несохранении одного топологического свойства отношением $M$-эквивалентности, Непрерывные функции на топ. пространствах, Рига, 1986, C.123--125. 41. В. Г. Пестов. Окрестности единицы в свободных группах Вестник МГУ. Мат. Мех. (1985), no.3, 8–10. 42. В. Г. Пестов. Некоторые свойства свободных топологических групп Вестник МГУ. Мат. Мех. (1982), no.1, 35–37. 43. В. Г. Пестов. Совпадение размерностей $\dim$ $l$-эквивалентных топологических пространств, ДАН СССР. 266 (1982), 553--556. 44. M. Petrich, Inverse Semigroups, John Wiley & Sons, New York, 1984. 45. M. Petrich. Free inverse semigroups, Colloq. Math. 59 (1990), 213–221. 46. О. В. Сипачева. Описание топологии свободных топологических групп без использования универсальных равномерных структур, Общая топология. Отображения топ. пространств, Изд-во МГУ, Москва, 01986, 122–129. 47. O. V. Sipacheva. Free topological groups of spaces and their subspaces, Topology Appl. 101 (2000), 181–212. 48. M. G. Tkachenko. On topologies of free groups, Czechosl. Math. J. 34 (1984), 541–551. 49. В. В. Успенский. О подгруппах свободных топологических групп, ДАН СССР. 285 (1985), no.5, 1070–1072. 50. М. М. Заричный. Свободные топологические группы абсолютных окрестностных ретрактов и бесконечномерные многообразия, ДАН СССР. 266 (1982), no.3, 541–544.
Pages	23-43
Volume	15
Issue	1
Year	2001
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html