Extremal ultrafilters and topologies on groups (in Russian)

E.G.Zelenyuk

We investigate ultrafilters related to Ramsey ultrafilters and $P$-points on extremally disconnected topological groups and some other topological groups with extremal properties. In particular, we prove that an ultrafilter $p$ on an infinite Boolean group $\Bbb B$ is Ramsey if and only if the maximal group topology on $\Bbb B$ such that $p$ converges to zero is extremally disconnected and $p$ contains an independent subset.

1. Сирота С. Произведение топологических групп и экстремальная несвязность// Матем. сб. – 1969. – Т.79, № 2. – С.179–192.

2. Малыхин В.И. Экстремально несвязные и близкие к ним группы// ДАН СССР. – 1975. – Т.220, № 1. – C.27–30.

3. Blass A., Hindman N. On strongly summable and union ultrafilters// Trans. Amer. Math. Soc. – 1987. – V.304, № 1. – P.83–99.

4. Протасов И.В. Фильтры и топологии на полугруппах// Матем. Студії. – 1994. – Вип.3. – С.15–28.

5. Зеленюк Е.Г. Топологические группы с конечными полугруппами ультрафильтров// Матем. Студії. – 1996. – Т.6. – С.41–52.

6. Протасов И.В. Неразложимые топологии на группах // Укр. матем. ж. – 1998. – Т.50, № 12. – C.1646–1655.

7. Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь. – Новосибирск: Ин-т математики, 1995. – 132 c.

8. Нерешенные задачи топологической алгебры. – Кишинев: Штиинца, 1985. – 40 c.

9. Протасов И.В. Абсолютно разложимые группы// Укр. матем. ж. – 1996. – Т.48, № 3. – C.383–392.

10. Зеленюк Е.Г. Разложимость топологических групп// Укр. матем. ж. – 1999. – Т.51, № 1. – C.41–47.

11. Зеленюк Е.Г. О топологических группах c конечными полугруппами ультрафильтров // Матем. Студії. – 1997. – Т.7, № 2. – С.139–144.

12. Hindman N. Ultrafilters and combinatorical number theory // Lecture Notes in Math. – 1979. – V.751. – P.49–184.

13. Ruppert W. Compact semitopological semigroups: An intrinsic theory// Lecture Notes in Math. – 1984. – V.1079. – P.1–260.

14. Протасов И.В. Ультрафильтры и топологии на группах// Сиб. матем. ж. – 1993. – Т.34, № 5. – C.163–180.

15. Зеленюк Е.Г. Конечные группы в $ \beta \Bbb N$ тривиальны. -- Киев, 1996.\ -- 12c. (Препр. / НАН Украины. Ин-т математики; 96.3).

16. Zelenjuk E.G. Finite groups in $ \beta\Bbb N$ are trivial// Semigroup Forum.\ -- 1997.\ -- V.55.\ -- P.131--132.

17. Архангельский А.В., Пономарев В.И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. – М.: Наука, 1974. – 424 c.

18. Shelah S. Proper forcing. – Berlin: Springer-Verlag, 1982.

19. Протасов И.В. Дискретные подмножества топологических групп// Матем. заметки. – 1994. – Т.55, № 1. – C.150-151.

20. Comfort W.W. Ultrafilters: some old and some new results// Bull. Amer. Math, Soc. – 1977. – V.83, № 4. – P.417–455.

21. Зеленюк Е.Г., Протасов И.В. Топологии на абелевых группах// Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1990. – Т.54, № 5. – C.1090–1107.

22. Справочная книга по математической логике. Часть II. Теория множеств. – М.: Наука, 1982. – 376c.

23. Protasov I. Combinatorics of numbers. – Mathematical Studies. Monograph Series, V.2. – Lviv: VNTL, 1997.

	Extremal ultrafilters and topologies on groups (in Russian)
Author	E.G.Zelenyuk Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics of the NAS of Ukraine, Lviv, Ukraine
Abstract	We investigate ultrafilters related to Ramsey ultrafilters and $P$-points on extremally disconnected topological groups and some other topological groups with extremal properties. In particular, we prove that an ultrafilter $p$ on an infinite Boolean group $\Bbb B$ is Ramsey if and only if the maximal group topology on $\Bbb B$ such that $p$ converges to zero is extremally disconnected and $p$ contains an independent subset.
Keywords	ultrafilters, Ramsey ultrafilters, extremally disconnected topological groups, Boolean groups, maximal group topology, convergence of ultrafilters, independent subsets
DOI	doi:10.30970/ms.14.2.121-140
Reference	1. Сирота С. Произведение топологических групп и экстремальная несвязность// Матем. сб. – 1969. – Т.79, № 2. – С.179–192. 2. Малыхин В.И. Экстремально несвязные и близкие к ним группы// ДАН СССР. – 1975. – Т.220, № 1. – C.27–30. 3. Blass A., Hindman N. On strongly summable and union ultrafilters// Trans. Amer. Math. Soc. – 1987. – V.304, № 1. – P.83–99. 4. Протасов И.В. Фильтры и топологии на полугруппах// Матем. Студії. – 1994. – Вип.3. – С.15–28. 5. Зеленюк Е.Г. Топологические группы с конечными полугруппами ультрафильтров// Матем. Студії. – 1996. – Т.6. – С.41–52. 6. Протасов И.В. Неразложимые топологии на группах // Укр. матем. ж. – 1998. – Т.50, № 12. – C.1646–1655. 7. Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь. – Новосибирск: Ин-т математики, 1995. – 132 c. 8. Нерешенные задачи топологической алгебры. – Кишинев: Штиинца, 1985. – 40 c. 9. Протасов И.В. Абсолютно разложимые группы// Укр. матем. ж. – 1996. – Т.48, № 3. – C.383–392. 10. Зеленюк Е.Г. Разложимость топологических групп// Укр. матем. ж. – 1999. – Т.51, № 1. – C.41–47. 11. Зеленюк Е.Г. О топологических группах c конечными полугруппами ультрафильтров // Матем. Студії. – 1997. – Т.7, № 2. – С.139–144. 12. Hindman N. Ultrafilters and combinatorical number theory // Lecture Notes in Math. – 1979. – V.751. – P.49–184. 13. Ruppert W. Compact semitopological semigroups: An intrinsic theory// Lecture Notes in Math. – 1984. – V.1079. – P.1–260. 14. Протасов И.В. Ультрафильтры и топологии на группах// Сиб. матем. ж. – 1993. – Т.34, № 5. – C.163–180. 15. Зеленюк Е.Г. Конечные группы в $ \beta \Bbb N$ тривиальны. -- Киев, 1996.\ -- 12c. (Препр. / НАН Украины. Ин-т математики; 96.3). 16. Zelenjuk E.G. Finite groups in $ \beta\Bbb N$ are trivial// Semigroup Forum.\ -- 1997.\ -- V.55.\ -- P.131--132. 17. Архангельский А.В., Пономарев В.И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. – М.: Наука, 1974. – 424 c. 18. Shelah S. Proper forcing. – Berlin: Springer-Verlag, 1982. 19. Протасов И.В. Дискретные подмножества топологических групп// Матем. заметки. – 1994. – Т.55, № 1. – C.150-151. 20. Comfort W.W. Ultrafilters: some old and some new results// Bull. Amer. Math, Soc. – 1977. – V.83, № 4. – P.417–455. 21. Зеленюк Е.Г., Протасов И.В. Топологии на абелевых группах// Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1990. – Т.54, № 5. – C.1090–1107. 22. Справочная книга по математической логике. Часть II. Теория множеств. – М.: Наука, 1982. – 376c. 23. Protasov I. Combinatorics of numbers. – Mathematical Studies. Monograph Series, V.2. – Lviv: VNTL, 1997.
Pages	121-140
Volume	14
Issue	2
Year	2000
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html