Complete WKB asymptotics of high frequency vibrations
in a stiff problem

N. O.  Babych; Yu. D.  Golovaty

We study an asymptotic behavior of eigenvalues and eigenfunctions of a stiff problem for an ordinary differential operator of the forth order. The stiffness of a system depends on a small parameter $e$ and vanishes as $e\to 0$ in a prescribed region. Such system possesses of low frequency and high frequency proper vibrations. The low frequency vibrations are described by power series on $e$. But this method is not applicable to description of the high frequencies. The asymptotics on $e$ of the high frequency vibrations was constructed based on the WKB method.

1. Lions J. L. Perturbations singulières dans les problèmes aus limites et en contrôle optima, Lect. Notes in Math, Vol.323, Springer, 1973.

2. Панасенко Г. П. Асимптотика решений и собственных значений эллиптических уравнений с сильно изменяющимися коэффициентами, ДАН CCCP, 252 (1980), 1320–1324.

3. Gibert P. Less basses et les moyennes fréquencies dans des structures fortement hétérogenes, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. II, 295 (1982), 951–954.

4. Geymonat G., Sanchez-Palencia E. Spectral properties of certain stiff problems in elasticity and acoustics, Math. Meth. Appl. Sci. 4 (1982), 291–306.

5. Geymonat G., Lobo-Hidalgo M., Sanchez-Palencia E. Spectral properties of certain stiff problems in elasticity and acoustics, Part II, Proceedings of the Centre for the Mathematical Analysis, Australian National Univ. 5 (1984), 15–38.

6. Санчез-Паленсия Е. Неоднородные среды и теория колебаний, М.: Мир, 1984.

7. Lobo-Hidalgo M., Sanchez-Palencia E. Low and high frequency vibration in stiff problems, in De Giorgi 60th Birthday, Partial Differential Equations and the Calculus of Variations, Birkhaüser, 1990, Vol.2. P.729–742.

8. Sanchez-Hubert J., Sanchez-Palencia E. Vibration and coupling of continuous systems. Asymptotic methods, Springer-Verlag, 1989, 421 pp.

9. Sanchez-Palencia E. Asymptotic and spectral properties of a class of singular–stiff problems, J. Math. Pures, Appl. 71 (1992), 379–406.

10. Lobo M., Perez E. High frequency vibrations in a stiff problem, Math. Methods. Appl. Sci. 7 (1997), no. 2, 291–311.

11. Маслов В. П. Теория возмущений и асимптотические методы, М: Изд-во МГУ, 1965, 554 с.

12. Федорюк М. В. Уравнения с быстро осциллирующими решениями, "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 34 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР)". М., 1988. С. 5–56.

13. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, М.: Наука, 1983, 352 c.

14. Вишик М. И., Люстерник А. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром, УМН 12 (1957), № 5, 3–122.

	Complete WKB asymptotics of high frequency vibrations in a stiff problem
Author	N. O. Babych, Yu. D. Golovaty Lviv National University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Lviv, 79000, Ukraine, Institute of Mathematics, Cracow University of Technology, Warszawska 24, 31-155 Cracow, Poland
Abstract	We study an asymptotic behavior of eigenvalues and eigenfunctions of a stiff problem for an ordinary differential operator of the forth order. The stiffness of a system depends on a small parameter $e$ and vanishes as $e\to 0$ in a prescribed region. Such system possesses of low frequency and high frequency proper vibrations. The low frequency vibrations are described by power series on $e$. But this method is not applicable to description of the high frequencies. The asymptotics on $e$ of the high frequency vibrations was constructed based on the WKB method.
Keywords	stiff differential equations, fourth-order ordinary differential operator, eigenvalues and eigenfunctions, asymptotic behavior, low-frequency vibrations, high-frequency vibrations, small parameter asymptotics, WKB method,
DOI	doi:10.30970/ms.14.1.59-72
Reference	1. Lions J. L. Perturbations singulières dans les problèmes aus limites et en contrôle optima, Lect. Notes in Math, Vol.323, Springer, 1973. 2. Панасенко Г. П. Асимптотика решений и собственных значений эллиптических уравнений с сильно изменяющимися коэффициентами, ДАН CCCP, 252 (1980), 1320–1324. 3. Gibert P. Less basses et les moyennes fréquencies dans des structures fortement hétérogenes, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. II, 295 (1982), 951–954. 4. Geymonat G., Sanchez-Palencia E. Spectral properties of certain stiff problems in elasticity and acoustics, Math. Meth. Appl. Sci. 4 (1982), 291–306. 5. Geymonat G., Lobo-Hidalgo M., Sanchez-Palencia E. Spectral properties of certain stiff problems in elasticity and acoustics, Part II, Proceedings of the Centre for the Mathematical Analysis, Australian National Univ. 5 (1984), 15–38. 6. Санчез-Паленсия Е. Неоднородные среды и теория колебаний, М.: Мир, 1984. 7. Lobo-Hidalgo M., Sanchez-Palencia E. Low and high frequency vibration in stiff problems, in De Giorgi 60th Birthday, Partial Differential Equations and the Calculus of Variations, Birkhaüser, 1990, Vol.2. P.729–742. 8. Sanchez-Hubert J., Sanchez-Palencia E. Vibration and coupling of continuous systems. Asymptotic methods, Springer-Verlag, 1989, 421 pp. 9. Sanchez-Palencia E. Asymptotic and spectral properties of a class of singular–stiff problems, J. Math. Pures, Appl. 71 (1992), 379–406. 10. Lobo M., Perez E. High frequency vibrations in a stiff problem, Math. Methods. Appl. Sci. 7 (1997), no. 2, 291–311. 11. Маслов В. П. Теория возмущений и асимптотические методы, М: Изд-во МГУ, 1965, 554 с. 12. Федорюк М. В. Уравнения с быстро осциллирующими решениями, "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 34 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР)". М., 1988. С. 5–56. 13. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, М.: Наука, 1983, 352 c. 14. Вишик М. И., Люстерник А. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром, УМН 12 (1957), № 5, 3–122.
Pages	59-72
Volume	14
Issue	1
Year	2000
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html

Complete WKB asymptotics of high frequency vibrations in a stiff problem