Solvable groups with many conditions on nilpotent-by-Černikov subgroups

O.D. Artemovych

We prove that non-``nilpotent-by-Černikov" group in which no non-trivial section is perfect has an infinite ascending chain of non-``nilpotent-by-Černikov" subgroups and give a characterization of the solvable groups with the maximal condition on non-``nilpotent-by-Černikov" subgroups.

1. Черников С.Н. Группы с заданными свойствами систем подгрупп, М.: Наука, 1980, 384 с.

2. Шунков В.П. Об абстрактных характеризациях некоторых линейных групп, В кн.: Алгебра. Матрицы и матричные группы, Красноярск, 1970, 3–54.

3. Зайцев Д.И., Курдаченко Л.А. Группы с условием максимальности для неабелевых подгрупп, Укр. мат. ж. 43 (1991), no. 7-8, 926–930.

4. Newman M.F., Wiegold J. Groups with many nilpotent subgroups, Archiv Math. 15 (1964), 241–250.

5. Heineken H., Mohamed I.J. A group with trivial centre satisfying the normalizer condition, J. Algebra 10 (1968), 368–376.

6. Meldrum J.D.P. On the Heineken-Mohamed groups, J. Algebra 27 (1973), 437–444.

7. Hartley B. A note on the normalizer condition, Proc. Cambr. Phil. Soc. (1973), no. 74, 11–15.

8. Bruno B., Phillips R.E. On multipliers of Heineken-Mohamed type groups, Rend. Sem. Mat. Padova 85 (1991), 133–146.

9. Menegazzo F. Groups of Heineken-Mohamed, J. Algebra 171 (1995), 807–825.

10. Smith H. Groups with few non-nilpotent subgroups, Glasgow Math. J. 39 (1997), 141–151.

11. Беляев В.В. Локально конечные группы с почти абелевыми собственными подгруппами, Сиб. мат. ж. 24 (1983), 11–17.

12. Bruno B. On groups with abelian-by-finite proper subgroups, Boll. Un. Mat. Ital. 6 (1984), 3-B, 797–807.

13. Bruno B. Special $q$-groups and ${\Bbb C}_{p^\infty}$-groups of automorphisms, Archiv Math. 48 (1987), 15--24.

14. Артемович О.Д. Неразложимые метабелевы группы, Укр. мат. ж. 42 (1990), 1252–1254.

15. Bruno B. On $p$-groups with ``nilpotent-by-finite" proper subgroups, Boll.\ Un.\ Mat.\ Ital. 7 (1989), 3-A, 45--51.

16. Bruno B., Phillips R.E. A note on groups with nilpotent-by-finite proper subgroups, Archiv Math. 65 (1995), 369–374.

17. Artemovych O.D. On indecomposable groups and groups with hypercentral-by-finite proper subgroups Publ. Mathematicae (Debrecen) 53 (1998), 163–175.

18. Otal J., Peña J.M. Groups in which every proper subgroup is Cernikov-by-nilpotent or nilpotent-by- Cernikov, Archiv Math. 51 (1988), 193–197.

19. Otal J., Pe\~na J.M. Nilpotent-by- Cernikov $CC$-groups, J.~Austral Math.\ Soc.\ A53 (1992), 120--130.

20. Napolitani F., Pegoraro E. On groups with nilpotent-by- Cernikov proper subgroups, Archiv Math. 69 (1997), 89–94.

21. Фукс Л. Бесконечные абелевы гpуппы. Т. 1, М.: Миp, 1974, 336 с.

22. Robinson D.J.S. A course in the theory of groups, New York e.a.: Springer, 1980, 481 p.

23. Фейс К. Алгебpа: кольца, модули и категоpии. Т. 1, М.: Миp, 1972, 688 с.

24. Hartley B. Periodic locally soluble groups containing an element of prime order with Cernikov centralizer, Quart. J. Math. Oxford. Ser.2 33 (1982), 309–322.

25. Черников С.Н. Дополнения к статье ”К теории полных групп“ Матем. сб. 22(64) (1948), 455–456.

26. Asar A.O. On nonnilpotent $p$-groups and the normalizer condition, Tr.~J.~Math.\ 18 (1994), 114--129.

27. Warfield R.B. Nilpotent groups, Lect. Notes in Math, 513, 1976, 115 p.

28. Kurdachenko L.A., Subbotin I.Ya. Modules over Dedekind domains, Los Angeles: National University, 1996, 76 p.

29. Кон П. Свободные кольца и их связи, М.: Миp, 1975, 424 с.

30. Matlis E. Injective modules over Noetherian rings, Pacific J. Math. 8 (1958), 511–528.

31. Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебpу. М.: Миp, 1972, 160 с.

32. Фукс Л. Бесконечные абелевы гpуппы. Т. II, М.: Миp, 1977, 416 с.

	Solvable groups with many conditions on nilpotent-by-Černikov subgroups
Author	O.D. Artemovych topos@franko.lviv.ua Department of Algebra and Mathematical Logic, Faculty of Mathematics and Mechanics , Kyiv Taras Shevchenko University, Volodymyrs'ka St 64 , 252033 Kyiv, Ukraine
Abstract	We prove that non-``nilpotent-by-Černikov" group in which no non-trivial section is perfect has an infinite ascending chain of non-``nilpotent-by-Černikov" subgroups and give a characterization of the solvable groups with the maximal condition on non-``nilpotent-by-Černikov" subgroups.
Keywords	nilpotent-by-Černikov groups, non-nilpotent-by-Černikov groups, infinite ascending chain of subgroups, perfect groups, non-trivial sections of groups, solvable groups
DOI	doi:10.30970/ms.13.1.23-32
Reference	1. Черников С.Н. Группы с заданными свойствами систем подгрупп, М.: Наука, 1980, 384 с. 2. Шунков В.П. Об абстрактных характеризациях некоторых линейных групп, В кн.: Алгебра. Матрицы и матричные группы, Красноярск, 1970, 3–54. 3. Зайцев Д.И., Курдаченко Л.А. Группы с условием максимальности для неабелевых подгрупп, Укр. мат. ж. 43 (1991), no. 7-8, 926–930. 4. Newman M.F., Wiegold J. Groups with many nilpotent subgroups, Archiv Math. 15 (1964), 241–250. 5. Heineken H., Mohamed I.J. A group with trivial centre satisfying the normalizer condition, J. Algebra 10 (1968), 368–376. 6. Meldrum J.D.P. On the Heineken-Mohamed groups, J. Algebra 27 (1973), 437–444. 7. Hartley B. A note on the normalizer condition, Proc. Cambr. Phil. Soc. (1973), no. 74, 11–15. 8. Bruno B., Phillips R.E. On multipliers of Heineken-Mohamed type groups, Rend. Sem. Mat. Padova 85 (1991), 133–146. 9. Menegazzo F. Groups of Heineken-Mohamed, J. Algebra 171 (1995), 807–825. 10. Smith H. Groups with few non-nilpotent subgroups, Glasgow Math. J. 39 (1997), 141–151. 11. Беляев В.В. Локально конечные группы с почти абелевыми собственными подгруппами, Сиб. мат. ж. 24 (1983), 11–17. 12. Bruno B. On groups with abelian-by-finite proper subgroups, Boll. Un. Mat. Ital. 6 (1984), 3-B, 797–807. 13. Bruno B. Special $q$-groups and ${\Bbb C}_{p^\infty}$-groups of automorphisms, Archiv Math. 48 (1987), 15--24. 14. Артемович О.Д. Неразложимые метабелевы группы, Укр. мат. ж. 42 (1990), 1252–1254. 15. Bruno B. On $p$-groups with ``nilpotent-by-finite" proper subgroups, Boll.\ Un.\ Mat.\ Ital. 7 (1989), 3-A, 45--51. 16. Bruno B., Phillips R.E. A note on groups with nilpotent-by-finite proper subgroups, Archiv Math. 65 (1995), 369–374. 17. Artemovych O.D. On indecomposable groups and groups with hypercentral-by-finite proper subgroups Publ. Mathematicae (Debrecen) 53 (1998), 163–175. 18. Otal J., Peña J.M. Groups in which every proper subgroup is Cernikov-by-nilpotent or nilpotent-by- Cernikov, Archiv Math. 51 (1988), 193–197. 19. Otal J., Pe\~na J.M. Nilpotent-by- Cernikov $CC$-groups, J.~Austral Math.\ Soc.\ A53 (1992), 120--130. 20. Napolitani F., Pegoraro E. On groups with nilpotent-by- Cernikov proper subgroups, Archiv Math. 69 (1997), 89–94. 21. Фукс Л. Бесконечные абелевы гpуппы. Т. 1, М.: Миp, 1974, 336 с. 22. Robinson D.J.S. A course in the theory of groups, New York e.a.: Springer, 1980, 481 p. 23. Фейс К. Алгебpа: кольца, модули и категоpии. Т. 1, М.: Миp, 1972, 688 с. 24. Hartley B. Periodic locally soluble groups containing an element of prime order with Cernikov centralizer, Quart. J. Math. Oxford. Ser.2 33 (1982), 309–322. 25. Черников С.Н. Дополнения к статье ”К теории полных групп“ Матем. сб. 22(64) (1948), 455–456. 26. Asar A.O. On nonnilpotent $p$-groups and the normalizer condition, Tr.~J.~Math.\ 18 (1994), 114--129. 27. Warfield R.B. Nilpotent groups, Lect. Notes in Math, 513, 1976, 115 p. 28. Kurdachenko L.A., Subbotin I.Ya. Modules over Dedekind domains, Los Angeles: National University, 1996, 76 p. 29. Кон П. Свободные кольца и их связи, М.: Миp, 1975, 424 с. 30. Matlis E. Injective modules over Noetherian rings, Pacific J. Math. 8 (1958), 511–528. 31. Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебpу. М.: Миp, 1972, 160 с. 32. Фукс Л. Бесконечные абелевы гpуппы. Т. II, М.: Миp, 1977, 416 с.
Pages	23-32
Volume	13
Issue	1
Year	2000
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html