On the Brauer groups of rational function fields over pseudoglobal
fields

V. Andriiychuk; L. Stakhiv

Let $k$ be an algebraic function field in one variable over a pseudofinite constant field ($k$ is called a pseudoglobal field). The maximal divisible subgroup of the Brauer group $ \operatorname{Br}k(t_1,\dots,t_n)$ of the rational function field $k(t_1,\dots,t_n)$ is described. With the purpose of description of $ \operatorname{Br}k(t_1,\dots,t_n)$ for countable $k$, it is shown that the Ulm lengths of the $p$-primary components of the character group $\operatorname{Hom}_{cont}(\operatorname{Gal}(ks/k),\Bbb Q \Bbb Z)$ are $<\omega2$. It is shown that there is only finitely many abelian extensions $l/k$ of a given exponent which are unramified outside of a finite set of valuation.

1. Ax J. The elementary theory of finite fields. Ann. Math., 1968, vol. 88, no. 2, pp. 239–271.

2. Jarden M. Elementary statements over large algebraic field. Trans. Amer. Math. Soc., 1972, vol. 164, pp. 67–91.

3. Fein B., Schacher M., Sonn J. Brauer groups of rational function fields. Bull. Amer. Math. Soc. (New Series), 1979, vol. 1, pp. 766–768.

4. Fein B., Schacher M. Brauer groups of rational function fields over global fields. Lect. Notes Math., 1981, vol. 544, pp. 46–74.

5. Андрiйчук В. Псевдоскiнченнi поля i закон взаємностi. Матем. студiї, 1993, вип. 2, с. 14–20.

6. Rim D.S., Whaples G. Global norm-residue map over quasi-finite fields. Nagoya Math. J., 1966, vol. 27, no. 1, pp. 323–329.

7. Milne J.S. Arithmetic duality theorems. Academic Press, Inc., 1986.

8. Пирс Р. Ассоциативные алгебры. М.: Мир, 1989.

9. Милнор Дж. Введение в алгебраическую K-теорию. М.: Мир, 1974.

10. Меркурьев А.С., Суслин А.А. K-когомологии многообразий Севери-Брауэра и гомоморфизм норменного вычета. Изв. АН СССР, сер. матем., 1982, т. 46, №5, с. 1011–1046.

11. Draxl P.K. Skew fields. London Math. Soc. Lect. Ser., vol. 81, 1983.

12. Serre J.-P. Corps locaux. Hermann, Paris, 1968.

13. Fein B., Schacher M. Brauer groups and character groups of function fields, II. J. Algebra, 1984, vol. 87, pp. 510–534.

14. Ленг С. Основы диофантовой геометрии. М.: Мир, 1986.

15. Lichtenbaum S. Duality theorems for curves over p-adic fields. Invent. Math., 1969, vol. 7, pp. 120–136.

16. Мамфорд Д. Абелевы многообразия. М.: Мир, 1971.

17. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968.

18. Ершов Ю.Л. Алгоритмические проблемы в теории полей. В: Справочная книга по математической логике, Ч. III, Теория рекурсии, 1982, М.: Наука, с. 269–353.

19. Алгебраическая теория чисел (под ред. Дж. Касселса и А. Фрелихе). М.: Мир, 1969.

20. Вейль Г. Алгебраическая теория чисел. М.: ИЛ, 1947.

21. Уилсон Р. Введение в теорию графов. М.: Мир, 1977.

	On the Brauer groups of rational function fields over pseudoglobal fields
Author	V. Andriiychuk, L. Stakhiv Department of Mechanics and Mathematics, Lviv University,Universytetska 1, Lviv, 290602, Ukraine.
Abstract	Let $k$ be an algebraic function field in one variable over a pseudofinite constant field ($k$ is called a pseudoglobal field). The maximal divisible subgroup of the Brauer group $ \operatorname{Br}k(t_1,\dots,t_n)$ of the rational function field $k(t_1,\dots,t_n)$ is described. With the purpose of description of $ \operatorname{Br}k(t_1,\dots,t_n)$ for countable $k$, it is shown that the Ulm lengths of the $p$-primary components of the character group $\operatorname{Hom}_{cont}(\operatorname{Gal}(ks/k),\Bbb Q \Bbb Z)$ are $<\omega2$. It is shown that there is only finitely many abelian extensions $l/k$ of a given exponent which are unramified outside of a finite set of valuation.
Keywords	algebraic function field, pseudofinite field, pseudoglobal field, maximal divisible subgroup, Brauer group, rational function field
DOI	doi:10.30970/ms.8.2.129-135
Reference	1. Ax J. The elementary theory of finite fields. Ann. Math., 1968, vol. 88, no. 2, pp. 239–271. 2. Jarden M. Elementary statements over large algebraic field. Trans. Amer. Math. Soc., 1972, vol. 164, pp. 67–91. 3. Fein B., Schacher M., Sonn J. Brauer groups of rational function fields. Bull. Amer. Math. Soc. (New Series), 1979, vol. 1, pp. 766–768. 4. Fein B., Schacher M. Brauer groups of rational function fields over global fields. Lect. Notes Math., 1981, vol. 544, pp. 46–74. 5. Андрiйчук В. Псевдоскiнченнi поля i закон взаємностi. Матем. студiї, 1993, вип. 2, с. 14–20. 6. Rim D.S., Whaples G. Global norm-residue map over quasi-finite fields. Nagoya Math. J., 1966, vol. 27, no. 1, pp. 323–329. 7. Milne J.S. Arithmetic duality theorems. Academic Press, Inc., 1986. 8. Пирс Р. Ассоциативные алгебры. М.: Мир, 1989. 9. Милнор Дж. Введение в алгебраическую K-теорию. М.: Мир, 1974. 10. Меркурьев А.С., Суслин А.А. K-когомологии многообразий Севери-Брауэра и гомоморфизм норменного вычета. Изв. АН СССР, сер. матем., 1982, т. 46, №5, с. 1011–1046. 11. Draxl P.K. Skew fields. London Math. Soc. Lect. Ser., vol. 81, 1983. 12. Serre J.-P. Corps locaux. Hermann, Paris, 1968. 13. Fein B., Schacher M. Brauer groups and character groups of function fields, II. J. Algebra, 1984, vol. 87, pp. 510–534. 14. Ленг С. Основы диофантовой геометрии. М.: Мир, 1986. 15. Lichtenbaum S. Duality theorems for curves over p-adic fields. Invent. Math., 1969, vol. 7, pp. 120–136. 16. Мамфорд Д. Абелевы многообразия. М.: Мир, 1971. 17. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968. 18. Ершов Ю.Л. Алгоритмические проблемы в теории полей. В: Справочная книга по математической логике, Ч. III, Теория рекурсии, 1982, М.: Наука, с. 269–353. 19. Алгебраическая теория чисел (под ред. Дж. Касселса и А. Фрелихе). М.: Мир, 1969. 20. Вейль Г. Алгебраическая теория чисел. М.: ИЛ, 1947. 21. Уилсон Р. Введение в теорию графов. М.: Мир, 1977.
Pages	129-135
Volume	8
Issue	2
Year	1997
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html

On the Brauer groups of rational function fields over pseudoglobal fields