Generalization of Borel's theorem for
the multiple Dirichlet series (in Ukrainian)

О. B. Skaskiv; O.Oryshchyn

Let $H_p(\Lambda)$ be the class of entire functions $F(z)$, $z\in\Bbb C^p$ $(p\ge 1)$ represented by convergent for all $z\in\Bbb C^p$ multiple Dirichlet series. We establish conditions that imply therelationship $\omega(\ln M(\sigma,F))-\omega(\ln\mu(\sigma,F))\to 0$, for $F(z)\in H_p(\Delta)$, where $\omega(x)$ is some increasing function such that $\ln x\le\omega(x)\le x^c$ $(x\to+\infty)$, $0 < c < 1$.

1. Valiron G. Sur les fonctions entières d'ordre fini et d'ordre nul et en particulier les fonctions à correspondance régulière // Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse. 1914. V. 5. P. 117–257.

2. Wiman A. Über den Zusammenhang zwischen dem Maximalbetrage einer analytischen Funktion und dem größten Gliede der zugehörigen Taylorischen Reihe // Acta Math. 1914. V. 37. P. 305–326.

3. Borel E. Leçons sur les fonctions entières. Paris: Gauthier-Villars, 1921.

4. Битлян И.Ф., Гольдберг А.А. Теоремы Вимана–Валирона для целых функций многих комплексных переменных // Вестн. Ленинград. ун-та. Сер. мат., мех. и астр. 1959. Вып. 2, № 13. С. 27–41.

5. Schumitzky A. A probabilistic approach to the Wiman–Valiron theory for entire functions of several complex variables // Complex Variables. 1989. V. 13. P. 85–98.

6. Fenton P.C. Wiman–Valiron theory in two variables // Trans. Amer. Math. Soc. 1995. V. 347, № 11. P. 4403–4412.

7. Скаскив О.Б. О поведении максимального члена ряда Дирихле, задающего целую функцию // Матем. заметки. 1985. Т. 37, № 1. С. 41–47.

8. Гречанюк Н.И. О поведении максимального члена кратного ряда Дирихле, задающего целую функцию // Укр. мат. журн. 1989. Т. 41, № 8. С. 1047–1053.

9. Гречанюк Н.И. Максимум модуля и максимальный член целого двойного ряда Дирихле. Дис. … канд. физ.-мат. наук. Львов, 1989. 125 с.

10. Скасків О.Б., Луцишин М.Р. Про мінімум модуля кратного ряду Діріхле // Укр. мат. журн. 1992. Т. 44, № 9. С. 1296–1298.

11. Шеремета М.Н. О полной эквивалентности логарифмов максимума модуля и максимального члена целого ряда Дирихле // Мат. заметки. 1985. Т. 47, № 1. С. 119–123.

12. Маергойз Л.С. Об одном результате Валирона // Теория функций, функц. анализ и их прил. (Харьков). 1978. Вып. 29. С. 89–98.

	Generalization of Borel's theorem for the multiple Dirichlet series (in Ukrainian)
Author	О.B. Skaskiv, O.Oryshchyn
Abstract	Let $H_p(\Lambda)$ be the class of entire functions $F(z)$, $z\in\Bbb C^p$ $(p\ge 1)$ represented by convergent for all $z\in\Bbb C^p$ multiple Dirichlet series. We establish conditions that imply therelationship $\omega(\ln M(\sigma,F))-\omega(\ln\mu(\sigma,F))\to 0$, for $F(z)\in H_p(\Delta)$, where $\omega(x)$ is some increasing function such that $\ln x\le\omega(x)\le x^c$ $(x\to+\infty)$, $0 < c < 1$.
Keywords	multiple Dirichlet series, entire functions, asymptotic relation
DOI	doi:10.30970/ms.8.1.43-52
Reference	1. Valiron G. Sur les fonctions entières d'ordre fini et d'ordre nul et en particulier les fonctions à correspondance régulière // Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse. 1914. V. 5. P. 117–257. 2. Wiman A. Über den Zusammenhang zwischen dem Maximalbetrage einer analytischen Funktion und dem größten Gliede der zugehörigen Taylorischen Reihe // Acta Math. 1914. V. 37. P. 305–326. 3. Borel E. Leçons sur les fonctions entières. Paris: Gauthier-Villars, 1921. 4. Битлян И.Ф., Гольдберг А.А. Теоремы Вимана–Валирона для целых функций многих комплексных переменных // Вестн. Ленинград. ун-та. Сер. мат., мех. и астр. 1959. Вып. 2, № 13. С. 27–41. 5. Schumitzky A. A probabilistic approach to the Wiman–Valiron theory for entire functions of several complex variables // Complex Variables. 1989. V. 13. P. 85–98. 6. Fenton P.C. Wiman–Valiron theory in two variables // Trans. Amer. Math. Soc. 1995. V. 347, № 11. P. 4403–4412. 7. Скаскив О.Б. О поведении максимального члена ряда Дирихле, задающего целую функцию // Матем. заметки. 1985. Т. 37, № 1. С. 41–47. 8. Гречанюк Н.И. О поведении максимального члена кратного ряда Дирихле, задающего целую функцию // Укр. мат. журн. 1989. Т. 41, № 8. С. 1047–1053. 9. Гречанюк Н.И. Максимум модуля и максимальный член целого двойного ряда Дирихле. Дис. … канд. физ.-мат. наук. Львов, 1989. 125 с. 10. Скасків О.Б., Луцишин М.Р. Про мінімум модуля кратного ряду Діріхле // Укр. мат. журн. 1992. Т. 44, № 9. С. 1296–1298. 11. Шеремета М.Н. О полной эквивалентности логарифмов максимума модуля и максимального члена целого ряда Дирихле // Мат. заметки. 1985. Т. 47, № 1. С. 119–123. 12. Маергойз Л.С. Об одном результате Валирона // Теория функций, функц. анализ и их прил. (Харьков). 1978. Вып. 29. С. 89–98.
Pages	43-52
Volume	8
Issue	1
Year	1997
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html

Generalization of Borel's theorem for the multiple Dirichlet series (in Ukrainian)