On the Lindelöf theorem

Ya.Ya. Prytula

Necessary and sufficient conditions are established on the coefficients of an entire Dirichlet series that defines a function $F$ for fulfilling the correlations $\ln M(\sigma,F)=\Phi(\sigma+o(1))$ and $\ln M(\sigma,F)=\Phi((1+o(1))\sigma)$, whenever $\sigma\to \infty$, where $M(\sigma,F)=\sup\bigl\{|F(\sigma +it)|:\; t\in\Bbb{R}\bigr\}$, and $\Phi$ is a positive on $(-\infty,+\infty )$ function such that $0\le\Phi^\prime(x)\uparrow +\infty\;(-\infty < x\to +\infty)$.

1. Lindelöf E. Sur la détermination de la croissance des fonctions entières définies par un développement de Taylor // Bull. Soc. Math. 1903. 27, №1. P. 1–62.

2. Говоров Н.В., Черных Н.М. О признаках полной регулярности роста некоторых классов целых функций экспоненциального типа, представленных интегралами Бореля, рядами Ньютона, Дирихле и степенными рядами // ДАН СССР. 1979. Т.249, №6. С. 1295–1299.

3. Srivastava G.S., Junea O.P. On entire functions of slow growth // Ann. Soc. Math. Polon., Ser. 1. 1984. 24. P. 133–141.

4. Шеремета М.Н. Двучленная асимптотика целых рядов Дирихле // Теория функций, функц. анализ и их прилож. 1990. 54. С. 16–25.

5. Заболоцький М.В., Шеремета М.М. Узагальнення теореми Ліндельофа // Укр. мат. ж. (у друці).

6. Шеремета М.М., Притула Я.Я., Фединяк С.І. Зростання рядів Діріхле // Препринт Центру мат. моделювання ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України. 1995. С. 3–7.

7. Шеремета М.Н. О соотношениях между максимальным членом и максимумом модуля целого ряда Дирихле // Мат. заметки. 1992. Т.51, №5. С. 141–148.

	On the Lindelöf theorem
Author	Ya.Ya. Prytula Lviv State University, Department of Mechanics and Mathematics
Abstract	Necessary and sufficient conditions are established on the coefficients of an entire Dirichlet series that defines a function $F$ for fulfilling the correlations $\ln M(\sigma,F)=\Phi(\sigma+o(1))$ and $\ln M(\sigma,F)=\Phi((1+o(1))\sigma)$, whenever $\sigma\to \infty$, where $M(\sigma,F)=\sup\bigl\{\|F(\sigma +it)\|:\; t\in\Bbb{R}\bigr\}$, and $\Phi$ is a positive on $(-\infty,+\infty )$ function such that $0\le\Phi^\prime(x)\uparrow +\infty\;(-\infty < x\to +\infty)$.
Keywords	coefficients conditions, entire Dirichlet series, necessary and sufficient conditions
DOI	doi:10.30970/ms.8.1.31-42
Reference	1. Lindelöf E. Sur la détermination de la croissance des fonctions entières définies par un développement de Taylor // Bull. Soc. Math. 1903. 27, №1. P. 1–62. 2. Говоров Н.В., Черных Н.М. О признаках полной регулярности роста некоторых классов целых функций экспоненциального типа, представленных интегралами Бореля, рядами Ньютона, Дирихле и степенными рядами // ДАН СССР. 1979. Т.249, №6. С. 1295–1299. 3. Srivastava G.S., Junea O.P. On entire functions of slow growth // Ann. Soc. Math. Polon., Ser. 1. 1984. 24. P. 133–141. 4. Шеремета М.Н. Двучленная асимптотика целых рядов Дирихле // Теория функций, функц. анализ и их прилож. 1990. 54. С. 16–25. 5. Заболоцький М.В., Шеремета М.М. Узагальнення теореми Ліндельофа // Укр. мат. ж. (у друці). 6. Шеремета М.М., Притула Я.Я., Фединяк С.І. Зростання рядів Діріхле // Препринт Центру мат. моделювання ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України. 1995. С. 3–7. 7. Шеремета М.Н. О соотношениях между максимальным членом и максимумом модуля целого ряда Дирихле // Мат. заметки. 1992. Т.51, №5. С. 141–148.
Pages	31-42
Volume	8
Issue	1
Year	1997
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html