On the convergence
rate of the 
partial sums of entire Dirichlet series (in Ukrainian)

O.G. Oryshchyn; O.B. Skaskiv

Let $H(\Lambda)$ be the~class of absolutely convergent in the whole plane Dirichlet series. For $F\in H(\Lambda)$ put $\sigma_n(F)=\max\{\frac1{S_n(x)}-\frac1{F(x)}:x\in \Bbb R$, $S_n(x)=\sum_{k=0}^n a_k e^{x\lambda_k}$. Necessary and sufficient conditions are found for $\sup_n\{-\ln\sigma_n(F)/h(n)\}=+\infty$, where $h(x)$ is some increasing function. Similar results are obtained for different subclasses of $H(\Lambda)$ determined by restrictions onto the~growth of the~sum of series.

1. Erdos P., Reddy A.R. Rational approximation on the positive real axis // Proc. London Math. Soc. 1975, V.31. P.439–456.

2. Erdös P., Reddy A.R. Rational approximation // Adv. in Math. Soc. 1976. V.21. P.78–109.

3. Шеремета М.Н. Рациональная аппроксимация на $[0,+\infty)$ целых функций произвольного роста с неотрицательными коэффициентами // Укр.\ мат.\ ж.\ 1979. Т.31, №36, C.303--311.

4. Шеремета М.Н. О скорости сходимости частных сумм целого ряда Дирихле // ТФФА и их прил. (Харьков) 1983. Вып.40. C.141–145.

5. Sheremeta M.N. On the convergence rate of the partial sums of positive entire Dirichlet series // Anal. Math. 1991. V.17. №1. P.47–53.

6. Шеремета М.Н. Об эквивалентности логарифмов максимума модуля и максимального члена целого ряда Дирихле // Матем. заметки. 1987. Т.42. №2. С.215–226.

7. Скаскив О.Б. О поведении максимального члена ряда Дирихле, задающего целую функцию // Матем. заметки. 1985. Т.37. №1. С.41–47.

8. Шеремета М.Н. Метод Вимана-Валирона для рядов Дирихле // Укр. мат. ж. 1978. Т.30. №4. С.488–497.

9. Херате С. Асимптотические свойства целых рядов Дирихле; Дис... канд. физ.-мат. н. — Львов, 1992. 86с.

10. Skaskiv O.B. On the Polya conjecture concerning the maximum and minimum of the modulus of an entire function of finite order given by a lacunary power series // Anal. Math. 1990. V.16. №2. P.143–157.

11. Fenton P.C. Wiman-Valyron theory for entire functions of finite lower growth // Trans. Amer. Math. Soc. 1979. V.252. P.221–232.

12. Хом'як М.М. Метод Вимана-Валирона для целых функций, заданных рядами Дирихле, с условием на рост на некоторой последовательности // Укр. мат. ж. 1983. Т.35. №4. С.527–533.

	On the convergence rate of the partial sums of entire Dirichlet series (in Ukrainian)
Author	O.G. Oryshchyn, O.B. Skaskiv Lviv University, Department of Mechanics and Mathematics
Abstract	Let $H(\Lambda)$ be the~class of absolutely convergent in the whole plane Dirichlet series. For $F\in H(\Lambda)$ put $\sigma_n(F)=\max\{\frac1{S_n(x)}-\frac1{F(x)}:x\in \Bbb R$, $S_n(x)=\sum_{k=0}^n a_k e^{x\lambda_k}$. Necessary and sufficient conditions are found for $\sup_n\{-\ln\sigma_n(F)/h(n)\}=+\infty$, where $h(x)$ is some increasing function. Similar results are obtained for different subclasses of $H(\Lambda)$ determined by restrictions onto the~growth of the~sum of series.
Keywords	absolutely convergent Dirichlet series, maximal term σn(F), necessary and sufficient conditions
DOI	doi:10.30970/ms.7.2.167-174
Reference	1. Erdos P., Reddy A.R. Rational approximation on the positive real axis // Proc. London Math. Soc. 1975, V.31. P.439–456. 2. Erdös P., Reddy A.R. Rational approximation // Adv. in Math. Soc. 1976. V.21. P.78–109. 3. Шеремета М.Н. Рациональная аппроксимация на $[0,+\infty)$ целых функций произвольного роста с неотрицательными коэффициентами // Укр.\ мат.\ ж.\ 1979. Т.31, №36, C.303--311. 4. Шеремета М.Н. О скорости сходимости частных сумм целого ряда Дирихле // ТФФА и их прил. (Харьков) 1983. Вып.40. C.141–145. 5. Sheremeta M.N. On the convergence rate of the partial sums of positive entire Dirichlet series // Anal. Math. 1991. V.17. №1. P.47–53. 6. Шеремета М.Н. Об эквивалентности логарифмов максимума модуля и максимального члена целого ряда Дирихле // Матем. заметки. 1987. Т.42. №2. С.215–226. 7. Скаскив О.Б. О поведении максимального члена ряда Дирихле, задающего целую функцию // Матем. заметки. 1985. Т.37. №1. С.41–47. 8. Шеремета М.Н. Метод Вимана-Валирона для рядов Дирихле // Укр. мат. ж. 1978. Т.30. №4. С.488–497. 9. Херате С. Асимптотические свойства целых рядов Дирихле; Дис... канд. физ.-мат. н. — Львов, 1992. 86с. 10. Skaskiv O.B. On the Polya conjecture concerning the maximum and minimum of the modulus of an entire function of finite order given by a lacunary power series // Anal. Math. 1990. V.16. №2. P.143–157. 11. Fenton P.C. Wiman-Valyron theory for entire functions of finite lower growth // Trans. Amer. Math. Soc. 1979. V.252. P.221–232. 12. Хом'як М.М. Метод Вимана-Валирона для целых функций, заданных рядами Дирихле, с условием на рост на некоторой последовательности // Укр. мат. ж. 1983. Т.35. №4. С.527–533.
Pages	167-174
Volume	7
Issue	2
Year	1997
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html

On the convergence rate of the partial sums of entire Dirichlet series (in Ukrainian)