On a Loeb space constructed from a
family of Følner sets of an  amenable group (in Russian)

E. Gordon

Some ergodic properties of amenable groups are investigated by means of Nonstandard Analysis. The Loeb measure space is constructed on a hyperfinite Foelner set of a nonstandard extension of an amenable group. In this Loeb space there exists a subset of the measure one, on which a free invariant action of the initial group can be defined. Two applications of this construction are mentioned. One of them deals with an approximation of amenable groups by finite groups. The other is an extension of Fursteberg's ergodic proof of Szemeredy theorem to the amenable groups.

1. Альбеверио С., Фенстад И., Хеэг-Крон Р., Линдстрем Т. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике: Пер. с англ. – М.: Мир, 1990, 616с.

2. Гринлиф Ф. Инвариантные средние на топологических группах и их приложения. – М.: Мир, 1973, 136с.

3. Вершик А.М. Счетные группы, близкие к конечным // Дополнение в кн. [2], С.112–135.

4. Вершик А.М. Аппроксимация в теории меры // Диссертация на соискание уч. ст. доктора физ.-мат. наук. Ленинградский гос. ун-т. Ленинград, 1973.

5. Степин А.М. Об аппроксимациях групп и групповых действий // УМН. 1983. Т.38, 6, С.123–124.

6. Вершик А.М., Гордон Е.И. О группах, локально вложимых в класс конечных групп // Алгебра и анализ. 1997. №1, С.70–85.

7. Furstenberg H., Katznelson Y., Ornstein D. The ergodic theoretical proof of Szemeredi's theorem // Bull. Amer. Math. Soc. 1982. V.7. P.527–552.

8. Мальцев А.И. Алгебраические системы. – М.: Наука, 1970. 392с.

9. Харламович О.Г. Разрешимая конечно-представленная группа с неразрешимой проблемой тождества слов // ИАН СССР. Сер. мат. 1981. Т.45, 4. С.854–873.

10. Bergelson V. Ergodic Ramsey Theory // Contemporary Math. 1987. V.57. P.63–87.

	On a Loeb space constructed from a family of Følner sets of an amenable group (in Russian)
Author	E. Gordon Faculty of Mechanics and Mathematics, Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod, 23 Gagarin Ave., Bldg. II, Nizhny Novgorod 603600, Russia
Abstract	Some ergodic properties of amenable groups are investigated by means of Nonstandard Analysis. The Loeb measure space is constructed on a hyperfinite Foelner set of a nonstandard extension of an amenable group. In this Loeb space there exists a subset of the measure one, on which a free invariant action of the initial group can be defined. Two applications of this construction are mentioned. One of them deals with an approximation of amenable groups by finite groups. The other is an extension of Fursteberg's ergodic proof of Szemeredy theorem to the amenable groups.
Keywords	ergodic properties, amenable groups, nonstandard analysis, Loeb measure space, Szemeredy theorem
DOI	doi:10.30970/ms.7.1.27-32
Reference	1. Альбеверио С., Фенстад И., Хеэг-Крон Р., Линдстрем Т. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике: Пер. с англ. – М.: Мир, 1990, 616с. 2. Гринлиф Ф. Инвариантные средние на топологических группах и их приложения. – М.: Мир, 1973, 136с. 3. Вершик А.М. Счетные группы, близкие к конечным // Дополнение в кн. [2], С.112–135. 4. Вершик А.М. Аппроксимация в теории меры // Диссертация на соискание уч. ст. доктора физ.-мат. наук. Ленинградский гос. ун-т. Ленинград, 1973. 5. Степин А.М. Об аппроксимациях групп и групповых действий // УМН. 1983. Т.38, 6, С.123–124. 6. Вершик А.М., Гордон Е.И. О группах, локально вложимых в класс конечных групп // Алгебра и анализ. 1997. №1, С.70–85. 7. Furstenberg H., Katznelson Y., Ornstein D. The ergodic theoretical proof of Szemeredi's theorem // Bull. Amer. Math. Soc. 1982. V.7. P.527–552. 8. Мальцев А.И. Алгебраические системы. – М.: Наука, 1970. 392с. 9. Харламович О.Г. Разрешимая конечно-представленная группа с неразрешимой проблемой тождества слов // ИАН СССР. Сер. мат. 1981. Т.45, 4. С.854–873. 10. Bergelson V. Ergodic Ramsey Theory // Contemporary Math. 1987. V.57. P.63–87.
Pages	27-32
Volume	7
Issue	1
Year	1997
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html

On a Loeb space constructed from a family of Følner sets of an amenable group (in Russian)