On zeros of some classes of 
functions analytic in half-plane (in Ukrainian)

B. Vynnytskyi

It is proved that the condition $$ \underset{|\lambda_n|\le1}\to\Sigma ~ Re ~\lambda_n+ \varlimsup_{r\to+\infty}\Bigl(\Bigl( \underset{1<|\lambda_n|\le r}\to\Sigma\Bigl( \frac1{|\lambda_n|}-\frac{|\lambda_n|}{r^2}\Bigr) \frac{\Re\lambda_n}{|\lambda_n|}\Bigr) -\frac\sigma\pi\ln(r)\Bigr) <+\infty $$ is necessary and sufficient for existence of an analytic in the right half-plane $\Bbb C_+$ function $F\not\equiv0$ which has zeroes in every point $\lambda_n\in\Bbb C_+$ and $$ \sup_{|\phi|<\pi/2|}\{ \smallint_0^{+\infty}|F(re^{i\phi})|^pe^{-p\sigma r|\sin\phi|}dr\}< +\infty,\quad p>0,\quad\sigma\ge0. $$

1. Винницкий Б.В. О нулях функций, аналитических в полуплоскости, в полноте систем экспонент // Укр. мат. журн. 1994. 46, №5. С.484–500.

2. Седлецкий А.М. Эквивалентное определение пространств $H^p$ в полуплоскости и некоторые приложения // Матем. сб. 1975. 96, №1. С.75--86.

3. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. – Л.:ГИТТЛ, 1950. 337с.

4. Гарнет Дж. Ограниченные аналитические функции. – М.:Наука, 1980. 384с.

5. Кусис П. Введение в теорию пространств $H^p$. -- М.: Мир, 1984. 368c.

6. Гольдберг А.А., Островский И.В. Распределение значений мероморфных функций, – М.: Наука, 1970. 591с.

7. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций, – М.:ГИТТЛ, 1956. 560с.

8. Говоров Н.В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом. – М.:Наука, 1986. 240с.

9. Ito. J.-I. Subharmonic functions in half-plane // Trans. Amer. Math. Soc. 1967. V.129. №3. P.479–499.

10. Гришин А.Ф. Субгармонические функции конечного порядка. Автореферат дисс. $\dots$ докт. физ.-мат. наук. Харьков. 1992. 30с.

11. Гришин А.Ф. Функции первого порядка, субгармонические в полуплоскости, и одна тауберова теорема // Теория функций, функц. анализ и их прил. 1990. Вып.53. С.87–94.

12. Хабибуллин Б.Н. О малости роста на мнимой оси целых функций экспоненциального типа с заданными нулями // Матем. заметки. 1988. 43. №5. С.644–650. Department of Mathematics and Physics, Drohobych Pedagogical Institute, Stryiska 3, Drohobych, 293720, Ukraine.

	On zeros of some classes of functions analytic in half-plane (in Ukrainian)
Author	B. Vynnytskyi Department of Mathematics and Physics, Drohobych Pedagogical Institute, Stryiska 3, Drohobych, 293720, Ukraine.
Abstract	It is proved that the condition $$ \underset{\|\lambda_n\|\le1}\to\Sigma ~ Re ~\lambda_n+ \varlimsup_{r\to+\infty}\Bigl(\Bigl( \underset{1<\|\lambda_n\|\le r}\to\Sigma\Bigl( \frac1{\|\lambda_n\|}-\frac{\|\lambda_n\|}{r^2}\Bigr) \frac{\Re\lambda_n}{\|\lambda_n\|}\Bigr) -\frac\sigma\pi\ln(r)\Bigr) <+\infty $$ is necessary and sufficient for existence of an analytic in the right half-plane $\Bbb C_+$ function $F\not\equiv0$ which has zeroes in every point $\lambda_n\in\Bbb C_+$ and $$ \sup_{\|\phi\|<\pi/2\|}\{ \smallint_0^{+\infty}\|F(re^{i\phi})\|^pe^{-p\sigma r\|\sin\phi\|}dr\}< +\infty,\quad p>0,\quad\sigma\ge0. $$
Keywords	analytic function, ecessary and sufficient condition, growth condition, integral estimate
DOI	doi:10.30970/ms.6.1.67-72
Reference	1. Винницкий Б.В. О нулях функций, аналитических в полуплоскости, в полноте систем экспонент // Укр. мат. журн. 1994. 46, №5. С.484–500. 2. Седлецкий А.М. Эквивалентное определение пространств $H^p$ в полуплоскости и некоторые приложения // Матем. сб. 1975. 96, №1. С.75--86. 3. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. – Л.:ГИТТЛ, 1950. 337с. 4. Гарнет Дж. Ограниченные аналитические функции. – М.:Наука, 1980. 384с. 5. Кусис П. Введение в теорию пространств $H^p$. -- М.: Мир, 1984. 368c. 6. Гольдберг А.А., Островский И.В. Распределение значений мероморфных функций, – М.: Наука, 1970. 591с. 7. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций, – М.:ГИТТЛ, 1956. 560с. 8. Говоров Н.В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом. – М.:Наука, 1986. 240с. 9. Ito. J.-I. Subharmonic functions in half-plane // Trans. Amer. Math. Soc. 1967. V.129. №3. P.479–499. 10. Гришин А.Ф. Субгармонические функции конечного порядка. Автореферат дисс. $\dots$ докт. физ.-мат. наук. Харьков. 1992. 30с. 11. Гришин А.Ф. Функции первого порядка, субгармонические в полуплоскости, и одна тауберова теорема // Теория функций, функц. анализ и их прил. 1990. Вып.53. С.87–94. 12. Хабибуллин Б.Н. О малости роста на мнимой оси целых функций экспоненциального типа с заданными нулями // Матем. заметки. 1988. 43. №5. С.644–650. Department of Mathematics and Physics, Drohobych Pedagogical Institute, Stryiska 3, Drohobych, 293720, Ukraine.
Pages	67-72
Volume	6
Issue	1
Year	1996
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html

On zeros of some classes of functions analytic in half-plane (in Ukrainian)