Topology of probability measure spaces, I:
The functors $P_\tau$ and $\hat P$

T.Banakh

For a Tychonoff space $X$, the constructions $\hat P(X)$ and $P_\tau(X)$ of the spaces of probability Radon measures and probability $\tau$-smooth measures on $X$ are considered. It is proved that the constructions $\hat P$ and $P_\tau$ determine functors in the category of Tychonoff spaces, which extend the functor $P$ of probability measures in the category of compacta. In this part we investigate general topological properties of the spaces $\hat P(X)$ and $P_\tau(X)$, as well as categorial properties of the functors $\hat P$ and $P_\tau$. %It is proved, in particular, that the functor $P_\tau$ is a %monad on the category of Tychonoff spaces, and the functor $\hat P$ is a %monad on the category of metrizable spaces. %For Radon measure spaces %the barycenter map is studied. %Also we show that the functors $\hat P$ and $P_\tau$ admit liftings onto the %category $\mathcal{BM}etr$ of bounded metric spaces as well as onto the category %$Unif$ of uniform spaces, and investigate properties of those liftings.

1. Банах Т.О., Радул Т.М. Про функтор ймовірносних мір // Доп. АН України. 1994. No 8. С.16–20.

2. Федорчук В.В. Вероятностные меры в топологии // УМН. 1991. Т.46. Вып.1. С.41–80.

3. Чигогидзе А.Ч. О продолжении нормальных функторов // Вестник МГУ. Сер. мех-мат. 1984. No 6. С.23–26.

4. Варадарайн В.С. Меры на топологических пространствах // Мат. сб. 1961. Т.55. No 1. С.35–100.

5. Knowles J.G. Measures on topological spaces // Proc. London Math. Soc. 1967. V.17. No 1. P.139–156.

6. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.

7. Федерер Г. Геометрическая теория меры. М.: Мир, 1987.

8. Банах Т.О., Радул Т.Н. Топология пространств вероятностных мер и геометрия их отображений, препринт, 1994.

9. Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные конструкции. М.: Изд-во МГУ, 1988.

10. Банах Т.О., Телейко А.Б. О независимости аксиом нормального функтора в категории компактов, препринт, 1993.

11. Архангельский А.В. Об одном классе пространств, содержащем все метрические и все локально бикомпактные пространства // Мат. сб. 1965. Т.67, No 1. С.55–85.

12. Куратовский К. Топология, I. М.: Мир, 1966.

13. Banach T. Descriptive classes of sets and topological functors // Укр. мат. журн. 1995.

14. Eilenberg S., Moore T. Adjoint functors and triples // Ill. J. Math. 1965. V.9. No 3. P.381–398.

15. Федорчук В.В. Об отображении барицентра вероятностных мер // Вестн. МГУ. Сер. матем.-мех. 1992. No 1. С.42–47.

16. Mill van J. Infinite-Dimensional Topology: prerequisites and introduction, North-Holland, Amsterdam, 1989.

17. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. – М.: Мир, 1976.

18. Ditor S., Eifler L. Some open mapping theorems for measures // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. V.164. P.287–293.

	Topology of probability measure spaces, I: The functors $P_\tau$ and $\hat P$
Author	T.Banakh Ivan Franko National University of Lviv, Department of Mechanics and Mathematics, Universytetska 1, Lviv, 79000, Ukraine
Abstract	For a Tychonoff space $X$, the constructions $\hat P(X)$ and $P_\tau(X)$ of the spaces of probability Radon measures and probability $\tau$-smooth measures on $X$ are considered. It is proved that the constructions $\hat P$ and $P_\tau$ determine functors in the category of Tychonoff spaces, which extend the functor $P$ of probability measures in the category of compacta. In this part we investigate general topological properties of the spaces $\hat P(X)$ and $P_\tau(X)$, as well as categorial properties of the functors $\hat P$ and $P_\tau$. %It is proved, in particular, that the functor $P_\tau$ is a %monad on the category of Tychonoff spaces, and the functor $\hat P$ is a %monad on the category of metrizable spaces. %For Radon measure spaces %the barycenter map is studied. %Also we show that the functors $\hat P$ and $P_\tau$ admit liftings onto the %category $\mathcal{BM}etr$ of bounded metric spaces as well as onto the category %$Unif$ of uniform spaces, and investigate properties of those liftings.
Keywords	Tychonoff space, probability Radon measure, Borel set, embeddding, Čech-complete spaces, Baire sets, metrizable spaces, Banach space
DOI	doi:10.30970/ms.5.1.65-87
Reference	1. Банах Т.О., Радул Т.М. Про функтор ймовірносних мір // Доп. АН України. 1994. No 8. С.16–20. 2. Федорчук В.В. Вероятностные меры в топологии // УМН. 1991. Т.46. Вып.1. С.41–80. 3. Чигогидзе А.Ч. О продолжении нормальных функторов // Вестник МГУ. Сер. мех-мат. 1984. No 6. С.23–26. 4. Варадарайн В.С. Меры на топологических пространствах // Мат. сб. 1961. Т.55. No 1. С.35–100. 5. Knowles J.G. Measures on topological spaces // Proc. London Math. Soc. 1967. V.17. No 1. P.139–156. 6. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 7. Федерер Г. Геометрическая теория меры. М.: Мир, 1987. 8. Банах Т.О., Радул Т.Н. Топология пространств вероятностных мер и геометрия их отображений, препринт, 1994. 9. Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные конструкции. М.: Изд-во МГУ, 1988. 10. Банах Т.О., Телейко А.Б. О независимости аксиом нормального функтора в категории компактов, препринт, 1993. 11. Архангельский А.В. Об одном классе пространств, содержащем все метрические и все локально бикомпактные пространства // Мат. сб. 1965. Т.67, No 1. С.55–85. 12. Куратовский К. Топология, I. М.: Мир, 1966. 13. Banach T. Descriptive classes of sets and topological functors // Укр. мат. журн. 1995. 14. Eilenberg S., Moore T. Adjoint functors and triples // Ill. J. Math. 1965. V.9. No 3. P.381–398. 15. Федорчук В.В. Об отображении барицентра вероятностных мер // Вестн. МГУ. Сер. матем.-мех. 1992. No 1. С.42–47. 16. Mill van J. Infinite-Dimensional Topology: prerequisites and introduction, North-Holland, Amsterdam, 1989. 17. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. – М.: Мир, 1976. 18. Ditor S., Eifler L. Some open mapping theorems for measures // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. V.164. P.287–293.
Pages	65-87
Volume	5
Issue	1
Year	1995
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html

Topology of probability measure spaces, I: The functors $P_\tau$ and $\hat P$