An extention of Paley-Wiener theorem (in Ukrainain)

B. Vinnitsky

Necessary and sufficient conditions are founded, under which values of the function $f_1$, $f_1(y)\exp(-\sigma|y|)\in L^p(-\infty,\infty)$, $1 < p\le2$, $0\le\sigma<+\infty$, can almost everywhere coincide with angular boundary values in image axis of any analytic in the right half plane function $f$ such that $$\sup_{|\phi|<\pi/2}\{\smallint_0^{+\infty} |f(re^{i\phi})|^p \exp(-pr\sigma|\sin (\phi)|)dr\}<+\infty. $$ In fact, a more general statement is proved.

1. Седлецкий А.М. Эквивалентное определение пространств $H^p$ в полуплоскости и некоторые приложения // Матем. сб. 1975. Т.96/138/. № 1. С.75--82.

2. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления в комплексной области. – М.:Наука. 1966. 671с.

3. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. – М.:Наука. 1964. 267с.

4. Гарнет Дж. Ограниченные аналитичесие функции. – М.:Мир. 1984. 470с.

5. Кусис П. Введение в теорию пространств $H^p$. -- М.:Мир. 1984. 368с.

6. Држбашян М.М., Мартиросян В.М. Теоремы типа Винера-Пэли и Мюнца-Саса // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1977. Т.44. № 1. С.868–894.

7. Левин Я.Б., Любарский Ю.И. Интерполяция целыми функциями специальных класов и связанные с нею разложения в ряды экспонент // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1975. Т.39. № 3. С.657–702.

8. Григорян Ш.А. О базисности неполных систем рациональных функций в угловой области // Изв. АН Армянской ССР. матем. 1978. Т.12. № 5–6. С.460–487.

9. Мартиросян В.М. Замыкание и базисность некоторых биортогональных систем и решение кратной интерполяционной задачи в угловой области // Изв. АН Армянской ССР. матем. 1978. Т.12. № 5–6. С.460–487.

10. Doetsch G. Bedingungen für die Darstellbarkeit einer Function als Laplace-Integral und eine Umkehrformel für die Laplace-Transformation // Math. Zeit. 1937. V.42. P.263–286.

11. Benedetto J.J., Heinig H.P. Weighted Hardy spaces and the Laplace transform // Lect. Notes. Math. 1983. V.992. P.240-277.

12. Винницький Б.В. О нулях функций, аналитических в полуплоскости, и полноте систем экспонент // Укр. мат. журн. 1994. Т.46. № 5. С.484–500. Department of Mathematics and Physics, Drohobych Pedagogical Institute, Streyska 3, Drohobych, 293720, Ukraine.

	An extention of Paley-Wiener theorem (in Ukrainain)
Author	B. Vinnitsky Department of Mathematics and Physics, Drohobych Pedagogical Institute, Streyska 3, Drohobych, 293720, Ukraine.
Abstract	Necessary and sufficient conditions are founded, under which values of the function $f_1$, $f_1(y)\exp(-\sigma\|y\|)\in L^p(-\infty,\infty)$, $1 < p\le2$, $0\le\sigma<+\infty$, can almost everywhere coincide with angular boundary values in image axis of any analytic in the right half plane function $f$ such that $$\sup_{\|\phi\|<\pi/2}\{\smallint_0^{+\infty} \|f(re^{i\phi})\|^p \exp(-pr\sigma\|\sin (\phi)\|)dr\}<+\infty. $$ In fact, a more general statement is proved.
Keywords	function values, Lp space, angular boundary values, analytic function, right half-plane
DOI	doi:10.30970/ms.4.1.37-44
Reference	1. Седлецкий А.М. Эквивалентное определение пространств $H^p$ в полуплоскости и некоторые приложения // Матем. сб. 1975. Т.96/138/. № 1. С.75--82. 2. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления в комплексной области. – М.:Наука. 1966. 671с. 3. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. – М.:Наука. 1964. 267с. 4. Гарнет Дж. Ограниченные аналитичесие функции. – М.:Мир. 1984. 470с. 5. Кусис П. Введение в теорию пространств $H^p$. -- М.:Мир. 1984. 368с. 6. Држбашян М.М., Мартиросян В.М. Теоремы типа Винера-Пэли и Мюнца-Саса // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1977. Т.44. № 1. С.868–894. 7. Левин Я.Б., Любарский Ю.И. Интерполяция целыми функциями специальных класов и связанные с нею разложения в ряды экспонент // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1975. Т.39. № 3. С.657–702. 8. Григорян Ш.А. О базисности неполных систем рациональных функций в угловой области // Изв. АН Армянской ССР. матем. 1978. Т.12. № 5–6. С.460–487. 9. Мартиросян В.М. Замыкание и базисность некоторых биортогональных систем и решение кратной интерполяционной задачи в угловой области // Изв. АН Армянской ССР. матем. 1978. Т.12. № 5–6. С.460–487. 10. Doetsch G. Bedingungen für die Darstellbarkeit einer Function als Laplace-Integral und eine Umkehrformel für die Laplace-Transformation // Math. Zeit. 1937. V.42. P.263–286. 11. Benedetto J.J., Heinig H.P. Weighted Hardy spaces and the Laplace transform // Lect. Notes. Math. 1983. V.992. P.240-277. 12. Винницький Б.В. О нулях функций, аналитических в полуплоскости, и полноте систем экспонент // Укр. мат. журн. 1994. Т.46. № 5. С.484–500. Department of Mathematics and Physics, Drohobych Pedagogical Institute, Streyska 3, Drohobych, 293720, Ukraine.
Pages	37-44
Volume	4
Issue	1
Year	1995
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html