One remark concerning equivalence of
 general differentiation operators in the spaces of analytic functions (in Ukrainian)

M.~Nahnybida

Let $A_R$ ($0 < R\le\infty$) be the space of all single-valued analytical in the disk $|z| < R$ functions, equipped with the topology of compact convergence, and $D_\alpha$ be the Gelfond-Leontiev operator of generalized differentiation, generated by a function $\alpha(z)=\Sigma_{k=0}^\infty \alpha_k z^k$ \ ($\alpha_k\ne0$), i.e. $$ (D_\alpha f)(z)=\sum_{k=0}^\infty\frac{\alpha_k}{\alpha_{k+1}}\cdot \frac{f^{(k+1)}(0)}{(k+1)!}z^k\quad (\forall f\in A_R). $$ Necessary and sufficient conditions are found for equivalence in $A_R$ of the operators $D_\alpha$ and $D_\alpha+aE$ where $a\in{\Bbb C}$ ($a\ne 0$), and $E$ is the identity operator.

1. Delsartes J., Lions J.L. Transmutations d'opérateurs differentieles dans le domaine complexe // Comment. Math. Helv. 1957. V.32, No 2. P.113–128.

2. Фаге М.К. Операторно-аналiтичнi функцiї однiєї незалежної змiнної. – Львiв: Вид-во Львiвського держ. ун-ту, 1959. – 140c.

3. Леонтьев А.Ф. Оценка решений одного дифференциального уравнения при больших по модулю значениях параметра и ее применение к некоторым вопросам теории функций // Сиб. мат. журн. 1960. T.1, № 3. C.456–487.

4. Гельфонд А.О., Леонтьев А.Ф. Об одном обобщении ряда Фурье // Мат. сборник. 1951. T.29, № 3. C.477–500.

5. Ткаченко В.А. Об операторе преобразования в пространствах целых функций // Сиб. мат. журн. 1979. T.20, № 1 C.152–163.

6. Нагнибида Н.И., Линчук С.С. Об эквивалентности дифференциальных операторов в пространстве аналитических в круге функций // Математика сегодня – 89: Науч.–метод. сб. (под ред. А.Я. Дороговцева). – К., 1989. – C.47–62.

7. Линчук С.С., Нагнибида Н.И. Об эквивалентности операторов Поммье в пространстве аналитических в круге функций // Сиб. мат. журн. 1990. T.80, № 1. C.55–61.

8. Хапланов М.Г. Линейные преобразования аналитических пространств // Докл. АН СССР. 1951. T.80, № 1. C.21–24.

9. Нагнибида Н.И. Об условиях полноты одной системы целых функций и их применении к операторам Поммье // Мат. заметки. 1991. Т.49, № 1. С.154–156. Чернiвецький державний унiверситет iм. Ю.Федьковича

	One remark concerning equivalence of general differentiation operators in the spaces of analytic functions (in Ukrainian)
Author	M.~Nahnybida
Abstract	Let $A_R$ ($0 < R\le\infty$) be the space of all single-valued analytical in the disk $\|z\| < R$ functions, equipped with the topology of compact convergence, and $D_\alpha$ be the Gelfond-Leontiev operator of generalized differentiation, generated by a function $\alpha(z)=\Sigma_{k=0}^\infty \alpha_k z^k$ \ ($\alpha_k\ne0$), i.e. $$ (D_\alpha f)(z)=\sum_{k=0}^\infty\frac{\alpha_k}{\alpha_{k+1}}\cdot \frac{f^{(k+1)}(0)}{(k+1)!}z^k\quad (\forall f\in A_R). $$ Necessary and sufficient conditions are found for equivalence in $A_R$ of the operators $D_\alpha$ and $D_\alpha+aE$ where $a\in{\Bbb C}$ ($a\ne 0$), and $E$ is the identity operator.
Keywords	disk, compact convergence topology, Gelfond-Leontiev operator, identity operator
DOI	doi:10.30970/ms.3.1.79-84
Reference	1. Delsartes J., Lions J.L. Transmutations d'opérateurs differentieles dans le domaine complexe // Comment. Math. Helv. 1957. V.32, No 2. P.113–128. 2. Фаге М.К. Операторно-аналiтичнi функцiї однiєї незалежної змiнної. – Львiв: Вид-во Львiвського держ. ун-ту, 1959. – 140c. 3. Леонтьев А.Ф. Оценка решений одного дифференциального уравнения при больших по модулю значениях параметра и ее применение к некоторым вопросам теории функций // Сиб. мат. журн. 1960. T.1, № 3. C.456–487. 4. Гельфонд А.О., Леонтьев А.Ф. Об одном обобщении ряда Фурье // Мат. сборник. 1951. T.29, № 3. C.477–500. 5. Ткаченко В.А. Об операторе преобразования в пространствах целых функций // Сиб. мат. журн. 1979. T.20, № 1 C.152–163. 6. Нагнибида Н.И., Линчук С.С. Об эквивалентности дифференциальных операторов в пространстве аналитических в круге функций // Математика сегодня – 89: Науч.–метод. сб. (под ред. А.Я. Дороговцева). – К., 1989. – C.47–62. 7. Линчук С.С., Нагнибида Н.И. Об эквивалентности операторов Поммье в пространстве аналитических в круге функций // Сиб. мат. журн. 1990. T.80, № 1. C.55–61. 8. Хапланов М.Г. Линейные преобразования аналитических пространств // Докл. АН СССР. 1951. T.80, № 1. C.21–24. 9. Нагнибида Н.И. Об условиях полноты одной системы целых функций и их применении к операторам Поммье // Мат. заметки. 1991. Т.49, № 1. С.154–156. Чернiвецький державний унiверситет iм. Ю.Федьковича
Pages	79-84
Volume	3
Issue	1
Year	1994
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html

One remark concerning equivalence of general differentiation operators in the spaces of analytic functions (in Ukrainian)