The value distribution of a random entire function

M.P.Mahola; P.V.Filevych

Let $T_f(r)$ be the Nevanlinna characteristic of an entire function $f$, $N_{f}(r,a)$ be the integrated counting function of its $a$-points, and $(\omega_n(\omega))$ be a sequence of independent equidistributed on $[0,1]$ random variables. It is proved that for a random entire function $f_\omega(z)=\sum_{n=0}^\infty e^{2\pi i\omega_n(\omega)}a_nz^n$ almost surely: (i) $T_{f_\omega}(r)\le N_{f_\omega}(r,0)+ C\ln N_{f_\omega}(r,0)$ for $r\ge r_0(\omega)$; (ii)~for every $\varepsilon>0$ and $a\in\mathbb{C}$ the inequality $T_{f_\omega}(r)\le N_{f_\omega}(r,a)+ \ln^{3+\varepsilon} N_{f_\omega}(r,a)$ holds for $r\ge r_0(\omega,a,\varepsilon)$ outside a set $E$ of finite logarithmic measure.

1. Гольдберг А.А., Островский И.В. Распределение значений мероморфных функций. -- М.: Наука, 1970.

2. Аракелян Н.У. Целые функции конечного порядка с бесконечным множеством дефектных значений// ДАН СССР. -- 1966. -- Т.170, №2. -- С. 999--1002.

3. Murai T. The value-distribution of random entire functions// Kodai Math. J. -- 1982. -- V.5. -- P. 313--317.

4. Offord A.C. The distribution of the value of a random function in the unit disk// Studia Math. -- 1972. -- V.41. -- P. 71--106.

5. Offord A.C. The distribution of the values of an entire function whose coefficients are independent random variables (II)// Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. -- 1995. -- V.118. -- P. 527--542.

6. Sodin M. Zeros of Gaussian analytic functions// Math. Research Letters. -- 2000. -- V.7. -- P. 371--381.

7. Sodin M., Tsirelson B. Random complex zeros, II. Decay of the hole probability// Israel J. Math. -- 2005. -- V.147. -- P. 371--379.

8. Erd"os P., R'enyi A. On random entire function// Zastosowania mat. -- 1969. -- V.10. -- P. 47--55.

9. Філевич П.В. Співвідношення між максимумом модуля і максимальним членом для випадкових цілих функцій// Mat. Stud. -- 1997. -- Т.7, №2. -- C. 165--174.

10. Скасків О.Б., Зрум О.В. Про виняткову множину у нерівностях типу Вімана для цілих функцій// Mat. Stud. -- 2004. -- Т.21, №1. -- C. 13--24.

11. Скасків О.Б. Випадкові лакунарні степеневі ряди і нерівність Вімана// Mat. Stud. -- 2008. -- Т.30, №1. -- C. 101--106.

12. Андрусяк І.В., Філевич П.В. Мінімальне зростання цілої функції із заданими нулями// Наук. вісник Чернівецького ун-ту. Сер. мат. -- 2008. -- T.421. -- С. 13--19.

13. Salo T.M., Skaskiv O.B., Stasyuk Ya.Z. On a central exponent of entire Dirichlet series// Mat. Stud. -- 2003. -- V.19, №1. -- P. 61--72.

14. Edrei A., Fuchs W.H.J. Bounds for the number of dificient values of certain classes of meromorphic functions// Proc. London Math. Soc. -- 1962. -- V.12. -- P. 315--344.

15. Андрусяк І.В., Філевич П.В. Зростання цілих функцій, показник збіжності нулів яких є цілим числом // Mat. Stud. -- 2009. -- Т.32, №1. -- C. 12--20.

	The value distribution of a random entire function
Author	M.P.Mahola, P.V.Filevych Ivan Franko Lviv National University, Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics of National Academy of Sciences of Ukraine, S.Z. Gzhytskyy Lviv National University of Veterinary Medicine and Biotechnologies
Abstract	Let $T_f(r)$ be the Nevanlinna characteristic of an entire function $f$, $N_{f}(r,a)$ be the integrated counting function of its $a$-points, and $(\omega_n(\omega))$ be a sequence of independent equidistributed on $[0,1]$ random variables. It is proved that for a random entire function $f_\omega(z)=\sum_{n=0}^\infty e^{2\pi i\omega_n(\omega)}a_nz^n$ almost surely: (i) $T_{f_\omega}(r)\le N_{f_\omega}(r,0)+ C\ln N_{f_\omega}(r,0)$ for $r\ge r_0(\omega)$; (ii)~for every $\varepsilon>0$ and $a\in\mathbb{C}$ the inequality $T_{f_\omega}(r)\le N_{f_\omega}(r,a)+ \ln^{3+\varepsilon} N_{f_\omega}(r,a)$ holds for $r\ge r_0(\omega,a,\varepsilon)$ outside a set $E$ of finite logarithmic measure.
Keywords	value distribution, random entire function, Nevanllinna characteristic
DOI	doi:10.30970/ms.34.2.120-128
Reference	1. Гольдберг А.А., Островский И.В. Распределение значений мероморфных функций. -- М.: Наука, 1970. 2. Аракелян Н.У. Целые функции конечного порядка с бесконечным множеством дефектных значений// ДАН СССР. -- 1966. -- Т.170, №2. -- С. 999--1002. 3. Murai T. The value-distribution of random entire functions// Kodai Math. J. -- 1982. -- V.5. -- P. 313--317. 4. Offord A.C. The distribution of the value of a random function in the unit disk// Studia Math. -- 1972. -- V.41. -- P. 71--106. 5. Offord A.C. The distribution of the values of an entire function whose coefficients are independent random variables (II)// Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. -- 1995. -- V.118. -- P. 527--542. 6. Sodin M. Zeros of Gaussian analytic functions// Math. Research Letters. -- 2000. -- V.7. -- P. 371--381. 7. Sodin M., Tsirelson B. Random complex zeros, II. Decay of the hole probability// Israel J. Math. -- 2005. -- V.147. -- P. 371--379. 8. Erd"os P., R'enyi A. On random entire function// Zastosowania mat. -- 1969. -- V.10. -- P. 47--55. 9. Філевич П.В. Співвідношення між максимумом модуля і максимальним членом для випадкових цілих функцій// Mat. Stud. -- 1997. -- Т.7, №2. -- C. 165--174. 10. Скасків О.Б., Зрум О.В. Про виняткову множину у нерівностях типу Вімана для цілих функцій// Mat. Stud. -- 2004. -- Т.21, №1. -- C. 13--24. 11. Скасків О.Б. Випадкові лакунарні степеневі ряди і нерівність Вімана// Mat. Stud. -- 2008. -- Т.30, №1. -- C. 101--106. 12. Андрусяк І.В., Філевич П.В. Мінімальне зростання цілої функції із заданими нулями// Наук. вісник Чернівецького ун-ту. Сер. мат. -- 2008. -- T.421. -- С. 13--19. 13. Salo T.M., Skaskiv O.B., Stasyuk Ya.Z. On a central exponent of entire Dirichlet series// Mat. Stud. -- 2003. -- V.19, №1. -- P. 61--72. 14. Edrei A., Fuchs W.H.J. Bounds for the number of dificient values of certain classes of meromorphic functions// Proc. London Math. Soc. -- 1962. -- V.12. -- P. 315--344. 15. Андрусяк І.В., Філевич П.В. Зростання цілих функцій, показник збіжності нулів яких є цілим числом // Mat. Stud. -- 2009. -- Т.32, №1. -- C. 12--20.
Pages	120-128
Volume	34
Issue	2
Year	2010
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html