The growth of entire and random entire function (in Ukrainian)

P.V.Filevych

Let $\Phi$ be a convex function on $[x_0,+\infty)$ such that $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\Phi(x)}{x}=+\infty$, and $f$ be a transcen\-dental entire function. Put $$ \Delta(\Phi)=\varlimsup\limits_{x\to+\infty}\frac {\ln\Phi'_+(x)}{\Phi(x)},\quad T_f(\Phi)=\varlimsup_{r\to+\infty}\frac{\ln M_f(r)}{\Phi(\ln r)},\quad t_f(\Phi)=\varlimsup_{r\to+\infty}\frac{\ln\mu_f(r)}{\Phi(\ln r)}. $$ It is proved that $T_f(\Phi)\le t_f(\Phi)+\Delta(\Phi)$. This inequality is sharp. Using the concept of a random entire function, it is proved that $T_f(\Phi)\le t_f(\Phi)+\frac12\Delta(\Phi)$ for the majority of entire functions.

1. Філевич П.В. Асимптотична поведінка цілих функцій з винятковими значеннями у співвідношенні Бореля// Укр. мат. журн.~--- 2001.~--- Т. 53, № 4.~--- С. 522--530.

2. Filevych P.V. On the slow growth of power series convergent in the unit disk// Matematychni Studii~--- 2001. --- V. 16, № 2.~--- P. 217--221.

3. Філевич П.В. Співвідношення між максимумом модуля і максимальним членом для випадкових цілих функцій // Математичні Студії.~--- 1997.~--- Т. 7, № 2.~--- С. 157--166.

	The growth of entire and random entire function
Author	P.V.Filevych Ivan Franko National University of Lviv
Abstract	Let $\Phi$ be a convex function on $[x_0,+\infty)$ such that $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\Phi(x)}{x}=+\infty$, and $f$ be a transcen\-dental entire function. Put $$ \Delta(\Phi)=\varlimsup\limits_{x\to+\infty}\frac {\ln\Phi'_+(x)}{\Phi(x)},\quad T_f(\Phi)=\varlimsup_{r\to+\infty}\frac{\ln M_f(r)}{\Phi(\ln r)},\quad t_f(\Phi)=\varlimsup_{r\to+\infty}\frac{\ln\mu_f(r)}{\Phi(\ln r)}. $$ It is proved that $T_f(\Phi)\le t_f(\Phi)+\Delta(\Phi)$. This inequality is sharp. Using the concept of a random entire function, it is proved that $T_f(\Phi)\le t_f(\Phi)+\frac12\Delta(\Phi)$ for the majority of entire functions.
Keywords	convex function, transcendetal entire function, random entire function, growth estimate
DOI	doi:10.30970/ms.30.1.15-21
Reference	1. Філевич П.В. Асимптотична поведінка цілих функцій з винятковими значеннями у співвідношенні Бореля// Укр. мат. журн.~--- 2001.~--- Т. 53, № 4.~--- С. 522--530. 2. Filevych P.V. On the slow growth of power series convergent in the unit disk// Matematychni Studii~--- 2001. --- V. 16, № 2.~--- P. 217--221. 3. Філевич П.В. Співвідношення між максимумом модуля і максимальним членом для випадкових цілих функцій // Математичні Студії.~--- 1997.~--- Т. 7, № 2.~--- С. 157--166.
Pages	15-21
Volume	30
Issue	1
Year	2008
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html