A mixed problem for
a nonlinear equation of the beam vibrations type in an unbounded
domain (in Ukrainian)

P.Ya.Pukach

The paper is devoted to investigation of the first mixed problem for a nonlinear equation of the fifth order in a domain un\-boun\-ded with respect to space variables. We consider an equation that generalizes the equation $ u_{tt} + a u_{txxxx} + bu_{xxxx} + |u_t|^{p-2} u_t = f$, $p>~2$, which is studied in the elasticity theory, for the case of any finite number of space variables. The conditions of the existence and uniqueness of generalized solution have been obtained. The classes of the existence and uniqueness are the spaces of local integrable functions.

1. Gu R.J., Kuttler K.L., Shillor M. Frictional wear of a thermoelastic beam // J. Math. Anal. And Appl.-- 2000.-- V.242 .-- P. 212--236.

2. Strömberg N., Johansson L., Klarbring A. Derivation and analysis of a generalized standard model for a contact friction and wear // Intern. J. Solids Structures -- 1996.-- V.13.-- P. 1817--1836.

3. Andrews K.T., Shillor M., Wright S. On the dynamic vibrations of an elastic beam in frictional contact with a rigid obstacle // J. Elasticity -- 1996.-- V.42. -- P. 1--30.

4. Martins J.A.C., Oden J.T. Existence and uniqueness results for dynamic contact problems with normal and friction interface laws // Nonlin. Anal. -- 1987. -- V.11.-- P. 407--428.

5. Слепцова И.П., Шишков А.Е. Смешанная задача для уравнения распространения возмущений в вязких средах в неограниченных областях // Докл. АН УССР.~ -- Сер. А. -- 1988. -- № 11. -- С. 28--31.

6. Шишков А.Е., Слепцова И.П. Существование растущих на бесконечности обобщенных решений смешанной задачи для некоторых эволюционных уравнений // Доп. АН УРСР.~ -- Сер. А. -- 1989. -- № 12. -- С. 20--23.

7. Шишков А.Е., Слепцова И.П. Классы единственности и разрешимости смешанных задач для некоторых эволюционных уравнений в неограниченных областях // Сиб. мат. ж.~ -- 1991. -- T.32. -- С. 166--178.

8. Слепцова И.П., Шишков А.Е. Принцип Фрагмена--Линделефа для некоторых квазилинейных эволюционных уравнений второго порядка // Укр. мат. журн.-- 2005. -- T.57.-- № 2.-- С. 239--249.

9. Hoshino K. On a construction of weak solutions to semilinear dissipative hyperbolic systems with the higher integrable gradients // Nonlin. Anal.~ -- 1999. -- V.38.-- P. 813 -- 826.

10. Ohta M., Takamura H. Remarks on the blow -- up boundaries and rates for nonlinear wave equations // Nonlin. Anal.-- 1998.-- V.33. -- 1998.--P. 693--698.

11. Li M.--R., Tsai L--Y. Existence and nonexistence of global solutions of some system of semilinear wave equations // Nonlin. Anal.-- 2003.-- V.54. -- P. 1397--1415.

12. Agre K., Rammaha M.A. Global solutions to boundary value problems for a nonlinear wave equation in high space dimensions // Diff. And Integr. Equat.-- 2001.-- V.14. -- P. 1315--1331.

13. Dragieva N.A. A hyperbolic equation with two space variables with strong nonlinearity // Godishnik Vish. Uchebn. Zaved. Prilozhna Mat. 1987. -- V.23, № 4. -- P. 95--106.

14. Pecher H. Sharp existence results for self -- similar solutions of semilinear wave equations // Nonlin. Diff. Equat. And Appl. -- 2000.-- V.7. -- P. 323 -- 341.

15. Todorova G., Yordanov B. Critical exponent for a nonlinear wave equations with damping // J. Diff. Equat.-- 2001.-- V.174. -- P. 464 -- 489.

16. Ohta M. Blowup for systems of semilinear wave equations in low space dimensions // J. Math. Anal. And Appl.-- 1999.-- V.240. -- P. 340--360.

17. Bernis F. Elliptic and parabolic semilinear problems without conditions at infinity // Arch. Ration. Mech. Anal.-- 1989. -- V.106, № 3.-- P. 217--241.

18. Бокало Н.М. О задаче без начальных условий для некоторых классов нелинейных параболических уравнений // Труды сем. им. И.Г. Пет\-ров\-ско\-го. -- 1989. -- Вып. 14.-- С.3--44.

19. Majdoub M. Qulitative study of the critical wave equation with a subcritical pertur\-bation // J. Math. Anal. And Appl.-- 2005.-- V.301. -- P. 354 -- 365.

20. Ryo Ikehata. Two dimensional exterior mixed problem for semilinear damped equa\-tion // J. Math. Anal. And Appl.-- 2005.-- V.301. -- P. 366 -- 377.

21. Лавренюк С.П., Оліскевич М.О. Метод Гальоркіна для гіпер\-бо\-ліч\-них систем першого порядку з двома незалежними змінними // Укр. мат. журн.-- 2002. -- V.54, № 10.-- С. 1356--1370.

22. Пукач П.Я. Змішана задача в необмеженій області для слабко нелінійного гіперболічного рівняння зі зростаючими коефіцієнтами // Мат. методи та фіз.-- мех. поля -- 2004. -- V.47, №4.-- С. 149--154.

23. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные урав\-не\-ния и операторные дифференциальные урав\-нения.-- Москва: Мир, 1978.

24. Пукач П.Я. Мішана задача для нелінійного рівняння типу коливань балки п'ятого порядку в обмеженій області // Вісник Національного університету "Львівська політехніка". Сер. фіз.-мат. науки. -- 2006 (в друці)

25. Лионс Ж.--Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых за\-дач.-- Москва: Эдит.УРСС, 2002.

	A mixed problem for a nonlinear equation of the beam vibrations type in an unbounded domain (in Ukrainian)
Author	P. Ya. Pukach Lviv Politechnic National University, Lviv, Ukraine
Abstract	The paper is devoted to investigation of the first mixed problem for a nonlinear equation of the fifth order in a domain un\-boun\-ded with respect to space variables. We consider an equation that generalizes the equation $ u_{tt} + a u_{txxxx} + bu_{xxxx} + \|u_t\|^{p-2} u_t = f$, $p>~2$, which is studied in the elasticity theory, for the case of any finite number of space variables. The conditions of the existence and uniqueness of generalized solution have been obtained. The classes of the existence and uniqueness are the spaces of local integrable functions.
Keywords	mixed problem, nonlinear equation, beam vibration type, unbounded domain
DOI	doi:10.30970/ms.27.2.139-148
Reference	1. Gu R.J., Kuttler K.L., Shillor M. Frictional wear of a thermoelastic beam // J. Math. Anal. And Appl.-- 2000.-- V.242 .-- P. 212--236. 2. Strömberg N., Johansson L., Klarbring A. Derivation and analysis of a generalized standard model for a contact friction and wear // Intern. J. Solids Structures -- 1996.-- V.13.-- P. 1817--1836. 3. Andrews K.T., Shillor M., Wright S. On the dynamic vibrations of an elastic beam in frictional contact with a rigid obstacle // J. Elasticity -- 1996.-- V.42. -- P. 1--30. 4. Martins J.A.C., Oden J.T. Existence and uniqueness results for dynamic contact problems with normal and friction interface laws // Nonlin. Anal. -- 1987. -- V.11.-- P. 407--428. 5. Слепцова И.П., Шишков А.Е. Смешанная задача для уравнения распространения возмущений в вязких средах в неограниченных областях // Докл. АН УССР.~ -- Сер. А. -- 1988. -- № 11. -- С. 28--31. 6. Шишков А.Е., Слепцова И.П. Существование растущих на бесконечности обобщенных решений смешанной задачи для некоторых эволюционных уравнений // Доп. АН УРСР.~ -- Сер. А. -- 1989. -- № 12. -- С. 20--23. 7. Шишков А.Е., Слепцова И.П. Классы единственности и разрешимости смешанных задач для некоторых эволюционных уравнений в неограниченных областях // Сиб. мат. ж.~ -- 1991. -- T.32. -- С. 166--178. 8. Слепцова И.П., Шишков А.Е. Принцип Фрагмена--Линделефа для некоторых квазилинейных эволюционных уравнений второго порядка // Укр. мат. журн.-- 2005. -- T.57.-- № 2.-- С. 239--249. 9. Hoshino K. On a construction of weak solutions to semilinear dissipative hyperbolic systems with the higher integrable gradients // Nonlin. Anal.~ -- 1999. -- V.38.-- P. 813 -- 826. 10. Ohta M., Takamura H. Remarks on the blow -- up boundaries and rates for nonlinear wave equations // Nonlin. Anal.-- 1998.-- V.33. -- 1998.--P. 693--698. 11. Li M.--R., Tsai L--Y. Existence and nonexistence of global solutions of some system of semilinear wave equations // Nonlin. Anal.-- 2003.-- V.54. -- P. 1397--1415. 12. Agre K., Rammaha M.A. Global solutions to boundary value problems for a nonlinear wave equation in high space dimensions // Diff. And Integr. Equat.-- 2001.-- V.14. -- P. 1315--1331. 13. Dragieva N.A. A hyperbolic equation with two space variables with strong nonlinearity // Godishnik Vish. Uchebn. Zaved. Prilozhna Mat. 1987. -- V.23, № 4. -- P. 95--106. 14. Pecher H. Sharp existence results for self -- similar solutions of semilinear wave equations // Nonlin. Diff. Equat. And Appl. -- 2000.-- V.7. -- P. 323 -- 341. 15. Todorova G., Yordanov B. Critical exponent for a nonlinear wave equations with damping // J. Diff. Equat.-- 2001.-- V.174. -- P. 464 -- 489. 16. Ohta M. Blowup for systems of semilinear wave equations in low space dimensions // J. Math. Anal. And Appl.-- 1999.-- V.240. -- P. 340--360. 17. Bernis F. Elliptic and parabolic semilinear problems without conditions at infinity // Arch. Ration. Mech. Anal.-- 1989. -- V.106, № 3.-- P. 217--241. 18. Бокало Н.М. О задаче без начальных условий для некоторых классов нелинейных параболических уравнений // Труды сем. им. И.Г. Пет\-ров\-ско\-го. -- 1989. -- Вып. 14.-- С.3--44. 19. Majdoub M. Qulitative study of the critical wave equation with a subcritical pertur\-bation // J. Math. Anal. And Appl.-- 2005.-- V.301. -- P. 354 -- 365. 20. Ryo Ikehata. Two dimensional exterior mixed problem for semilinear damped equa\-tion // J. Math. Anal. And Appl.-- 2005.-- V.301. -- P. 366 -- 377. 21. Лавренюк С.П., Оліскевич М.О. Метод Гальоркіна для гіпер\-бо\-ліч\-них систем першого порядку з двома незалежними змінними // Укр. мат. журн.-- 2002. -- V.54, № 10.-- С. 1356--1370. 22. Пукач П.Я. Змішана задача в необмеженій області для слабко нелінійного гіперболічного рівняння зі зростаючими коефіцієнтами // Мат. методи та фіз.-- мех. поля -- 2004. -- V.47, №4.-- С. 149--154. 23. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные урав\-не\-ния и операторные дифференциальные урав\-нения.-- Москва: Мир, 1978. 24. Пукач П.Я. Мішана задача для нелінійного рівняння типу коливань балки п'ятого порядку в обмеженій області // Вісник Національного університету "Львівська політехніка". Сер. фіз.-мат. науки. -- 2006 (в друці) 25. Лионс Ж.--Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых за\-дач.-- Москва: Эдит.УРСС, 2002.
Pages	139-148
Volume	27
Issue	2
Year	2007
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html

A mixed problem for a nonlinear equation of the beam vibrations type in an unbounded domain (in Ukrainian)