On well-posedness of the boundary value problems for the quasi-linear elliptic systems in unbounded domains (in Ukrainian)

M.M.Bokalo; O.V.Kushnir

The classes of quasi-linear elliptic systems in unbounded domains such that the boundary problems with Dirichlet's and Neuman's boundary conditions for them are well-posed (a solution exists, it is unique and continuously dependent on the initial data) without conditions on the behaviour of solution and increasing of initial data at infinity are under investigation. The weak solutions of the investigated problems from the corresponding general Lebesgue spaces are studied.

1. Keller J.B. On solutions of $ u=f(u)$ // Comm. Pure Appl. Math.- 1957.-- № 10.-- P.503--510.

2. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. -- М.: Наука, 1964. -- 538~с.

3. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. -- M.: Мир, 1972. -- 587~с.

4. Bernis H., Strauss W. Semilinear second-order elliptic equations in $L^1$ // J. Math. Soc. Japan. -- 1973.-- № 25. -- P.565--590.

5. Benilan Ph., Bernis H. and Crandall M. A semilinear equation in $L^1(\Bbb{R}^n)$ // Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa. -- 1975.-- № 2. -- P.523--555.

6. O.A. Some asymptotic problems of the theory of partial differential equations // Lezioni Lincei.Accad.naz.Lincei. Cambridge University Press. -- 1995.

7. Bernis F. Elliptic and parabolic semilinear problems without conditions at infinity // Arch. Ration Mech. and Anal. -- 1989. -- V.106, № 3. -- P.217-241.

8. Brezis H. Semilinear equation in $\Bbb{R}^n$ without conditions at infinity // Appl. Math. Optim. -- 1984. -- V.12. -- P.271--282.

9. Diaz J.I. and Oleinic O.A. Nonlinear elliptic boundary-value problems in unbounded domains and the asymptotic behaviour of its solution // C. R. Acad. Sci. Paris. Serie I. -- 1992. -- T.315. -- P.787--792.

10. Kováčik O. and Rákosník J. On spaces $L^{p(x)}$ and $W^{1, p(x)}$ // Czechosl. Math. J. -- 1991. -- V.41, № 4. -- P.592--618.

11. Бокало М.М. Коректність першої крайової задачі для деяких квазілінійних еліптичних рівнянь в необмежених областях без умов на нескінченості // Вісник Львівського університету. Cер. мех.-мат. -- 1997. -- Вип.47. -- С.40--47.

12. Самохин В.Н. Об одном классе уравнений, обобщающих уравнения политропной фильтрации // Дифф. уравн. -- 1996. -- Т.32, № 5. -- С.643--651.

	On well-posedness of the boundary value problems for the quasi-linear elliptic systems in unbounded domains (in Ukrainian)
Author	M.M.Bokalo, O.V.Kushnir Ivan Franko National University of Lviv
Abstract	The classes of quasi-linear elliptic systems in unbounded domains such that the boundary problems with Dirichlet's and Neuman's boundary conditions for them are well-posed (a solution exists, it is unique and continuously dependent on the initial data) without conditions on the behaviour of solution and increasing of initial data at infinity are under investigation. The weak solutions of the investigated problems from the corresponding general Lebesgue spaces are studied.
Keywords	well-posedness, boundary value problem, quasi-linear elliptic system, unbounded domain
DOI	doi:10.30970/ms.24.1.69-82
Reference	1. Keller J.B. On solutions of $ u=f(u)$ // Comm. Pure Appl. Math.- 1957.-- № 10.-- P.503--510. 2. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. -- М.: Наука, 1964. -- 538~с. 3. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. -- M.: Мир, 1972. -- 587~с. 4. Bernis H., Strauss W. Semilinear second-order elliptic equations in $L^1$ // J. Math. Soc. Japan. -- 1973.-- № 25. -- P.565--590. 5. Benilan Ph., Bernis H. and Crandall M. A semilinear equation in $L^1(\Bbb{R}^n)$ // Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa. -- 1975.-- № 2. -- P.523--555. 6. O.A. Some asymptotic problems of the theory of partial differential equations // Lezioni Lincei.Accad.naz.Lincei. Cambridge University Press. -- 1995. 7. Bernis F. Elliptic and parabolic semilinear problems without conditions at infinity // Arch. Ration Mech. and Anal. -- 1989. -- V.106, № 3. -- P.217-241. 8. Brezis H. Semilinear equation in $\Bbb{R}^n$ without conditions at infinity // Appl. Math. Optim. -- 1984. -- V.12. -- P.271--282. 9. Diaz J.I. and Oleinic O.A. Nonlinear elliptic boundary-value problems in unbounded domains and the asymptotic behaviour of its solution // C. R. Acad. Sci. Paris. Serie I. -- 1992. -- T.315. -- P.787--792. 10. Kováčik O. and Rákosník J. On spaces $L^{p(x)}$ and $W^{1, p(x)}$ // Czechosl. Math. J. -- 1991. -- V.41, № 4. -- P.592--618. 11. Бокало М.М. Коректність першої крайової задачі для деяких квазілінійних еліптичних рівнянь в необмежених областях без умов на нескінченості // Вісник Львівського університету. Cер. мех.-мат. -- 1997. -- Вип.47. -- С.40--47. 12. Самохин В.Н. Об одном классе уравнений, обобщающих уравнения политропной фильтрации // Дифф. уравн. -- 1996. -- Т.32, № 5. -- С.643--651.
Pages	69-82
Volume	24
Issue	1
Year	2005
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html