On Wiman's inequality for random entire functions of two variables (in Ukrainian)

O.V.Zrum; O.B.Skaskiv

For entire functions $f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n$ of variable $z\in {\Bbb C},$ P. L${\rm \acute{e}}$vy (1929) established that, in the classical Wiman's inequality $M_f(r)\leq\mu_f(r)(\ln\mu_f(r))^{1/2+\varepsilon},\ \varepsilon>0,$ which holds outside a set of finite logarithmic measure, can be replaced almost surely, in some sense, by $1/4$; here $M_f(r)=\max\{|f(z)|:|z|=r\},\ \mu_f(r)=\max\{|a_n|r^n:n\geq0\},\ r>0. $ Theorem 1 asserts that the phenomenon discovered by P. L${\rm\acute{e}}$vy, holds also in the case of Wiman's inequality for entire functions of two variables, which gives an affirmative answer to the question of A. A. Goldberg and M. M. Sheremeta (1996) on the possibility of this phenomenon in the case of functions of two variables.

1. Виттих Г. Новейшие исследования по однозначным аналитическим функциям.-- М.: Физматгиз, 1960.-- 320 с.

2. Гольдберг А. А., Левин Б. Я., Островский И. В. Целые и мероморфные функции // Итоги науки и техн. Совр. пробл. мат. Фундам. направл. / ВИНИТИ, 1990.-- Т. 85.-- С. 5--186.

3. Битлян И. Ф., Гольдберг А. А. Теорема Вимана-Валирона для целых функций многих комплексных пременных // Вестн. Ленинград. ун-та, сер. мат., мех. и астр.- 1959.- Вып. 2, № 13.-- С. 27--41.

4. Fenton P. C. Wiman-Valyron theory in two variables // Trans. Amer. Math. Soc.-- 1995.-- V. 347, no 11.-- P. 4403-4412.

5. Schumitzky A. Wiman-Valiron thery for entire functions of several complex variables // Ph. D. Dissertation.-- Ithaca: Cornell Univ., 1965.

6. Schumitzky A. A probabilistic approach to the Wiman-Valiron theory for entire functions of several complex variables // Complex Variables.-- 1989.-- V. 13.-- P. 85--98.

7. Скасків О.Б., Тракало О.М. Про класичну нерівність Вімана для цілих кратних рядів Діріхле // Мат. методи та фіз.- мех. поля.-- 2000.-- Т. 43, № 3.-- C. 34--39.

8. Lévy. P. Sur la croissance de fonctions enti$\grave{{\rm e}}$re // Bull. Soc. Math. France -- 1930, T. 58.-- P. 29--59; P. 127--149.

9. Erd$\ddot{{\rm o}}$s P., R$\acute{{\rm e}}$nyi A. On random entire function // Zastosowania mat.-- 1969.-- V. 10.-- P. 47--55.

10. Філевич П. В. Співвідношення між максимумом модуля і максимальним членом для випадкових цілих функцій // Мат. Студії.-- 1997.-- Т. 7, № 2.-- C. 165--174.

11. Філевич П. В. Оцінки типу Вімана-Валірона для випадкових цілих функцій // Доп. НАН України.-- 1997.-- № 12.-- C. 41--43.

12. Скасків О.Б., Зрум О. В. Про виняткову множину у нерівностях типу Вімана для цілих функцій // Матем. Студії.-- 2004.-- Т. 21, № 1.-- C. 13--24.

13. Баврин И.И. Оценки и целые функции // Уч. зап. Моск. обл. пед. ин-та.-- 1959.-- Вып. 77.-- C. 53--78.

14. Hayman W. K. Subharmonic functions, V. 2.-- London etc.: Acad. Press, 1989.-- XXI+591p.

15. Steel J. M. Sharper Wiman inequality for entire functions with rapidly oscillating coefficients // J. Math. Anal. Appl.-- 1987.-- V. 123.-- P. 550--558.

16. Філевич П. В. Деякі класи цілих функцій, в яких майже напевне можна покращити нерівність Вімана-Валірона // Мат. Студії.-- 1996.-- Вип. 6.-- С. 59--66.

	On Wiman's inequality for random entire functions of two variables (in Ukrainian)
Author	O.V.Zrum, O.B.Skaskiv tftj@franko.lviv.ua, matstud@franko.lviv.ua Ivan Franko Lviv National University
Abstract	For entire functions $f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n$ of variable $z\in {\Bbb C},$ P. L${\rm \acute{e}}$vy (1929) established that, in the classical Wiman's inequality $M_f(r)\leq\mu_f(r)(\ln\mu_f(r))^{1/2+\varepsilon},\ \varepsilon>0,$ which holds outside a set of finite logarithmic measure, can be replaced almost surely, in some sense, by $1/4$; here $M_f(r)=\max\{\|f(z)\|:\|z\|=r\},\ \mu_f(r)=\max\{\|a_n\|r^n:n\geq0\},\ r>0. $ Theorem 1 asserts that the phenomenon discovered by P. L${\rm\acute{e}}$vy, holds also in the case of Wiman's inequality for entire functions of two variables, which gives an affirmative answer to the question of A. A. Goldberg and M. M. Sheremeta (1996) on the possibility of this phenomenon in the case of functions of two variables.
Keywords	random entire function, two variables, Wiman inequality
DOI	doi:10.30970/ms.23.2.149-160
Reference	1. Виттих Г. Новейшие исследования по однозначным аналитическим функциям.-- М.: Физматгиз, 1960.-- 320 с. 2. Гольдберг А. А., Левин Б. Я., Островский И. В. Целые и мероморфные функции // Итоги науки и техн. Совр. пробл. мат. Фундам. направл. / ВИНИТИ, 1990.-- Т. 85.-- С. 5--186. 3. Битлян И. Ф., Гольдберг А. А. Теорема Вимана-Валирона для целых функций многих комплексных пременных // Вестн. Ленинград. ун-та, сер. мат., мех. и астр.- 1959.- Вып. 2, № 13.-- С. 27--41. 4. Fenton P. C. Wiman-Valyron theory in two variables // Trans. Amer. Math. Soc.-- 1995.-- V. 347, no 11.-- P. 4403-4412. 5. Schumitzky A. Wiman-Valiron thery for entire functions of several complex variables // Ph. D. Dissertation.-- Ithaca: Cornell Univ., 1965. 6. Schumitzky A. A probabilistic approach to the Wiman-Valiron theory for entire functions of several complex variables // Complex Variables.-- 1989.-- V. 13.-- P. 85--98. 7. Скасків О.Б., Тракало О.М. Про класичну нерівність Вімана для цілих кратних рядів Діріхле // Мат. методи та фіз.- мех. поля.-- 2000.-- Т. 43, № 3.-- C. 34--39. 8. Lévy. P. Sur la croissance de fonctions enti$\grave{{\rm e}}$re // Bull. Soc. Math. France -- 1930, T. 58.-- P. 29--59; P. 127--149. 9. Erd$\ddot{{\rm o}}$s P., R$\acute{{\rm e}}$nyi A. On random entire function // Zastosowania mat.-- 1969.-- V. 10.-- P. 47--55. 10. Філевич П. В. Співвідношення між максимумом модуля і максимальним членом для випадкових цілих функцій // Мат. Студії.-- 1997.-- Т. 7, № 2.-- C. 165--174. 11. Філевич П. В. Оцінки типу Вімана-Валірона для випадкових цілих функцій // Доп. НАН України.-- 1997.-- № 12.-- C. 41--43. 12. Скасків О.Б., Зрум О. В. Про виняткову множину у нерівностях типу Вімана для цілих функцій // Матем. Студії.-- 2004.-- Т. 21, № 1.-- C. 13--24. 13. Баврин И.И. Оценки и целые функции // Уч. зап. Моск. обл. пед. ин-та.-- 1959.-- Вып. 77.-- C. 53--78. 14. Hayman W. K. Subharmonic functions, V. 2.-- London etc.: Acad. Press, 1989.-- XXI+591p. 15. Steel J. M. Sharper Wiman inequality for entire functions with rapidly oscillating coefficients // J. Math. Anal. Appl.-- 1987.-- V. 123.-- P. 550--558. 16. Філевич П. В. Деякі класи цілих функцій, в яких майже напевне можна покращити нерівність Вімана-Валірона // Мат. Студії.-- 1996.-- Вип. 6.-- С. 59--66.
Pages	149-160
Volume	23
Issue	2
Year	2005
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html