Asymptotic expansions of local eigenvibrations for
plate with density perturbed in neighbourhood of one-dimensional
manifold

Y.D. Golovaty; A.S. Lavrenyuk

We study a spectral problem for the biharmonic operator with the Dirichlet boundary conditions and with the perturbation of a density in small neighbourhood of 1-dimensional closed manifold. The phenomenon of the Sanchez-Palencia local eigenvibrations is described. The complete asymptotic expansions of the infinitely small eigenvalues and the corresponding eigenfunctions are constructed. The 2-parameter spectral problem which defines the two-term expansion of eigenvalues is obtained.

1. Гантмахер Ф.Р., Крейн М.Г. Осциляционные матрицы, ядра и малые колебания механических систем, М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. – 359 с.

2. Sanchez-Palencia E., Perturbation of eigenvalues in thermoelasticity and vibration of systems with concentated masses, Trends in Applications of pure Mathematics to Mechanics. P. Ciarlet and M. Roseau. editors, Springer, 1984.

3. Sanchez-Palencia E., Tchatat H., Vibration de systèmes élastiques avec masses concentrées, Rend. Sem. Mat. Univ. Politecn. Torino, 42 (1984), no. 3, 43–63.

4. Олейник О. А. О собственных колебаниях тел с концентрированными массами, Современные проблемы прикладной математики и математической физики, М.: Наука, 1988, 101–128.

5. Lobo M., Perez E. Vibrations of a membrane with many concentrated masses near the boundary Mathematical Models and Methods in Applied Sciences 5 (1995), no. 5, 565–585.

6. Lobo M., Perez E. On vibrations of a body with many concentrated masses near the boundary, Mathematical Models and Methods in Applied Sciences 3 (1993), 249–273.

7. Tchatat H. Thèse de 3ème cucle, University Pierre et Marie Curie, 1984.

8. Oleinik O.A. Homogenization problems in elasticity spectra of singularly perturbed operators, R.J. Knops and A.A. Lacey ed., Cambridge Univ. Press, 1987, 80–95.

9. Головатый Ю.Д. Спектральные свойства колебательных систем с присоединенными массами, Тр. Московск. матем. об-ва, 54 (1992), 29–72.

10. Sanchez-Hubert J., Sanchez-Palencia E. Vibration and coupling of continuous systems, Asymptotic methods, Springer, Heidelberg, 1989.

11. Leal C, Sanchez-Hubert J. Perturbation of the eigenvalues of membrane with concentrated masses, Quart. of Appl. Math., XLVII (1989), no. 1, 93–103.

12. Sanchez-Hubert J. Perturbation des valeurs propres pour des systèmes avec masse concentrée, C. R. Acad. Sci. Paris, 309, Série II, (1989), 507–510.

13. Головатий Ю.Д., Лавренюк А.С. Про локальні власні коливання Е. Санчез-Паленсії для пластини із збуренням густини в околі одновимірного многовиду, Вісник Львівського ун-ту, сер. мех.-матем. (1998), Вип. 51, 134–141.

14. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике, М., Наука, 1970. – 512 с.

15. Вишик М.И., Люстерник А.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром, УМН 12 (1957), № 5, 3–122.

16. Мельник Т.А., Назаров С.А. Асимптотическая структура спектра в задаче о гармонических колебаниях ступицы с тяжелыми спицами, ДАН 133 (1993), № 1, 13–15.

17. Mel'nyk T.A., Nazarov S.A. Asymptotic structure of the spectrum of the Neumann problem in thin comb-like domain, C. R. Acad. Sci. Paris, 319, Série I (1994), 1343–1348.

18. Figotin A., Kuchment P. Band-gap structure of spectra of periodic dialectric and acoustic media, I. Scalar model, SIAM J. Appl. Math. 56 (1996), no.1, 68–88.

19. Figotin A., Kuchment P. Spectral properties of classical waves in high-contrast media, SIAM J. Appl. Math. 58 (1998), no.2, 683–702.

	Asymptotic expansions of local eigenvibrations for plate with density perturbed in neighbourhood of one-dimensional manifold
Author	Y.D. Golovaty, A.S. Lavrenyuk Lviv National University
Abstract	We study a spectral problem for the biharmonic operator with the Dirichlet boundary conditions and with the perturbation of a density in small neighbourhood of 1-dimensional closed manifold. The phenomenon of the Sanchez-Palencia local eigenvibrations is described. The complete asymptotic expansions of the infinitely small eigenvalues and the corresponding eigenfunctions are constructed. The 2-parameter spectral problem which defines the two-term expansion of eigenvalues is obtained.
Keywords	biharmonic operator, Dirichlet boundary conditions, spectral problem, perturbation of density, one-dimensional closed manifold, Sanchez-Palencia local eigenvibrations
DOI	doi:10.30970/ms.13.1.51-62
Reference	1. Гантмахер Ф.Р., Крейн М.Г. Осциляционные матрицы, ядра и малые колебания механических систем, М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. – 359 с. 2. Sanchez-Palencia E., Perturbation of eigenvalues in thermoelasticity and vibration of systems with concentated masses, Trends in Applications of pure Mathematics to Mechanics. P. Ciarlet and M. Roseau. editors, Springer, 1984. 3. Sanchez-Palencia E., Tchatat H., Vibration de systèmes élastiques avec masses concentrées, Rend. Sem. Mat. Univ. Politecn. Torino, 42 (1984), no. 3, 43–63. 4. Олейник О. А. О собственных колебаниях тел с концентрированными массами, Современные проблемы прикладной математики и математической физики, М.: Наука, 1988, 101–128. 5. Lobo M., Perez E. Vibrations of a membrane with many concentrated masses near the boundary Mathematical Models and Methods in Applied Sciences 5 (1995), no. 5, 565–585. 6. Lobo M., Perez E. On vibrations of a body with many concentrated masses near the boundary, Mathematical Models and Methods in Applied Sciences 3 (1993), 249–273. 7. Tchatat H. Thèse de 3ème cucle, University Pierre et Marie Curie, 1984. 8. Oleinik O.A. Homogenization problems in elasticity spectra of singularly perturbed operators, R.J. Knops and A.A. Lacey ed., Cambridge Univ. Press, 1987, 80–95. 9. Головатый Ю.Д. Спектральные свойства колебательных систем с присоединенными массами, Тр. Московск. матем. об-ва, 54 (1992), 29–72. 10. Sanchez-Hubert J., Sanchez-Palencia E. Vibration and coupling of continuous systems, Asymptotic methods, Springer, Heidelberg, 1989. 11. Leal C, Sanchez-Hubert J. Perturbation of the eigenvalues of membrane with concentrated masses, Quart. of Appl. Math., XLVII (1989), no. 1, 93–103. 12. Sanchez-Hubert J. Perturbation des valeurs propres pour des systèmes avec masse concentrée, C. R. Acad. Sci. Paris, 309, Série II, (1989), 507–510. 13. Головатий Ю.Д., Лавренюк А.С. Про локальні власні коливання Е. Санчез-Паленсії для пластини із збуренням густини в околі одновимірного многовиду, Вісник Львівського ун-ту, сер. мех.-матем. (1998), Вип. 51, 134–141. 14. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике, М., Наука, 1970. – 512 с. 15. Вишик М.И., Люстерник А.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром, УМН 12 (1957), № 5, 3–122. 16. Мельник Т.А., Назаров С.А. Асимптотическая структура спектра в задаче о гармонических колебаниях ступицы с тяжелыми спицами, ДАН 133 (1993), № 1, 13–15. 17. Mel'nyk T.A., Nazarov S.A. Asymptotic structure of the spectrum of the Neumann problem in thin comb-like domain, C. R. Acad. Sci. Paris, 319, Série I (1994), 1343–1348. 18. Figotin A., Kuchment P. Band-gap structure of spectra of periodic dialectric and acoustic media, I. Scalar model, SIAM J. Appl. Math. 56 (1996), no.1, 68–88. 19. Figotin A., Kuchment P. Spectral properties of classical waves in high-contrast media, SIAM J. Appl. Math. 58 (1998), no.2, 683–702.
Pages	51-62
Volume	13
Issue	1
Year	2000
Journal	Matematychni Studii
Full text of paper	pdf
Table of content of issue	html

Asymptotic expansions of local eigenvibrations for plate with density perturbed in neighbourhood of one-dimensional manifold